正六边形镶嵌

✍ dations ◷ 2025-03-07 10:21:30 #镶嵌

在几何学中,正六边形镶嵌是一种平面镶嵌,由正六边形重复组合排列而成,且填满整个平面,而且没有任何空隙或重叠,由于皆由正多边形组成,因此称为正镶嵌图。正六边形镶嵌是三维欧几里得空间中三个正密铺之一。另外两个分别是正三角形镶嵌和正方形镶嵌。

由于正六边形镶嵌是由正六边形组成,又因正六边形内角为120°,因此每个顶点周围都有3个正六边形,且刚好占满360°,才能填满平面。

在施莱夫利符号中,正六边形镶嵌可用{6,3}或t{3,6}表示。

正六边形镶嵌可以被用来进行圆堆砌(英语:Circle packing),以其每个顶点为圆心放置等直径的圆。在这个堆砌里,每个圆都与3个相邻圆接触(接触数(英语:Kissing number problem))。每个正六边形中间的部分实际上还可以再放入一个圆,这样我们就会得到二维最密圆堆砌——正三角形镶嵌式圆堆砌,这时接触数达到最大值6。

3的(广义)多面体相关:

(三阶)正六边形镶嵌在拓扑上与一系列面为正六边形的密铺相关联,这些镶嵌都可称之为“正六边形镶嵌”,所以我们以“n 阶”来区分,其施莱夫利符号为{6,n},考克斯特符号(英语:Coxeter diagram),菱形镶嵌的每一个顶点都被延长成了新的棱。这类似于三维空间中的菱形十二面体堆砌和菱形六角化十二面体堆砌之间的关系。

就像半正多面体一样,这里也有8个基于正六边形镶嵌(和正三角形镶嵌)的半正镶嵌。在以下的图片中,原有面对应的面被涂成了红色,原有顶点所对应的面被涂成了黄色,原有棱对应的面被涂成了蓝色。这8个半正镶嵌中,只有7个是拓扑上相异的。(截顶正三角形镶嵌与正六边形镶嵌在拓扑上相同)


正六边形镶嵌是有着{6,3}拓扑的一种特殊的正的镶嵌,而实际上,这里有12种类型的非正但是面全同(英语:face-transitivity)且顶点全同(英语:vertex-transitivity)的六边形镶嵌,前7种可以被认为是没有边对边正好对上的四边形镶嵌,也可被认为是有两对共线边的六边形镶嵌。这里的“对称性”假定所有的面都是相同的。

平行四边形
p2对称

平行四边形
pmg对称

平行四边形
pgg对称

矩形
pgg对称

梯形
pmg对称

矩形
pgg对称

矩形
cmm对称

六边形
p2对称

六边形
pgg对称

六边形
pmg对称

展长六边形
cmm对称

正六边形
p6m对称

正六边形镶嵌也可被变形为一种手征性的四填充色三向同性的编织图案。其中部分正六边形被扭曲成了平行四边形。这一图案有着旋转632 (p6) 对称性(英语:List_of_planar_symmetry_groups#Wallpaper_groups)。

正六边形镶嵌是二维空间最密的排列方式。在蜂窝猜想中,正六边形镶嵌是使用最少的总周长将该表面划分成面积相等的区域的最佳方法。最佳的三维结构由开尔文勋爵(Lord Kelvin)提出,他认为,开尔文结构(体心立方晶格)是最佳的结构(最佳结构可能出现于肥皂泡)。然而,一个更加不对称的韦尔—费伦结构要比它好一些。

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