默比乌斯带

莫比乌斯带（德语：Möbiusband），又译梅比斯环、莫比乌斯环或麦比乌斯带，是一种只有一个面（表面）和一条边界的曲面，也是一种重要的拓扑学结构。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦类似。莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个窄的带子，而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是梅比斯环），再把刚刚做出那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从中间剪开，则变成两个环。如果你把带子的宽度分为三分，并沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转了两次再结合的环。另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还更要早。一个利用参数方程式创造出立体莫比乌斯带的方法：这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。如果用圆柱坐标系（r,θ,z）表示的话，一个无边界的莫比乌斯带可以表示为：从拓扑学上来讲，莫比乌斯带可以定义为矩阵×，边由在0 ≤ x ≤ 1的时候（x,0）~（1-x,1）决定，如右图所示。莫比乌斯带是一个二维的紧致流形（即一个有边界的面），可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例，可以看作RP2 # RP2。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是一个有一纤维单位区间，I = 的圆S1上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S1上一个非平凡的两个点（或Z2）的从。和莫比乌斯带非常近似的一个几何学物体叫做克莱因瓶。一个克莱因瓶可以用粘贴两个莫比乌斯带的方法制作出来。但是如果物体不进行自我交叉，这个步骤在三维空间内是不可能完成的。另外一个相近的结构是实射影平面。如果在实射影平面上有一个洞的话，从左侧看就会形成一个莫比乌斯带。或者把莫比乌斯带的边界进行有限定义，就会形成一个真投影屏面。更形象地说法是重建莫比乌斯带的边缘形成一个普通的环。有一种普遍的误解认为如果不进行平面的自我交叉就无法在三维空间内形成一个有普通环边缘的莫比乌斯带。事实上是可能的，方法是这样的：定义C为xy面上的单位圆，现在连接C上面的对跖点，比如θ和θ + π。当θ在0到π/2之间运动的时候，在xy面上方做这条线的反余切，其他情况则在面下做反余切。莫比乌斯带只有一边。 如果你不相信， 就请剪开一个验证， 带子分离时候却还是相连。中文网络上曾流传有一些以年轻人和老禅师为主人公的涉及数学概念的冷笑话。其中一则来源于人人网用户黄雁捷的段子大致内容如下：“青年向禅师讨教，希望可以让他的女朋友没有缺点，只有优点。禅师微笑着，请青年为他找一张只有正面没有背面的纸。然后青年掏出了一个莫比乌斯环……”历史上确有相似的事情发生过。主人公是同样拥有传奇色彩的美国物理学家理查德·费曼和他当时的女朋友阿琳。少年费曼有一次与阿琳一同谈论笛卡尔的哲学时，指出笛卡尔对于完美必定存在的论述是在偷换概念。阿琳感叹说也许就像哲学老师说的一样，任何事物都像纸张一样拥有不同的2个面。费曼则说这一说法本身也是值得权衡的，然后根据从《大英百科全书》学到的知识，拿出一张纸，在女友面前现场制作了一个莫比乌斯纸环。阿琳非常惊喜，第2天把纸环带到了学校。当老师拿起一张纸又开始举例事物都有两面性时，她兴奋地举起了莫比乌斯纸环，令在场的师生们都为之惊讶。不过费曼非常欣赏笛卡尔的科学贡献。