轴角

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:28:46 #坐标系,角,欧几里得对称

旋转的轴角表示用两个值参数化了旋转: 一个轴或直线，和描述绕这个轴的旋转量的一个角。它也叫做旋转的指数坐标。

有时也叫做旋转向量表示，因为这两个参数(轴和角)可用在这个轴上的其模是旋转角的一个向量来表示。

轴角表示在处理刚体动力学的时候是方便的。它对特征化旋转还有在刚体运动的不同表示之间的转换是有用的。

假如你站在地面上，选取重力的方向为负方向。如果你左转，你将绕轴旋转 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 方向的模为 ${\tfrac {\pi }{2}}$ $\tfrac{\pi}{2}$ 的旋转向量。

表示旋转有很多方式。理解它们相互之间的区别和如何转换是重要的。

从旋转的轴角表示到旋转矩阵的变换使用指数映射。

本质上说，通过使用泰勒展开，你可以得出在这两种表示之间的闭合形式的关系。给出一个轴 $\omega \in \mathbb {R} ^{3}$ $\omega \in \mathbb {R} ^{3}$ 和角 $\theta \in \mathbb {R}$ $\theta \in \mathbb {R}$ ，等价的旋转矩阵给出为:

这里的 R 是 3x3 旋转矩阵而帽算子给出与叉积被乘数对应的反对称矩阵算符。

要获得旋转矩阵的轴角表示，计算旋转的角

并接着使用它来找到轴

要从轴角坐标变换到四元数使用下列表达式:

给出一个单位四元数，提取轴角坐标可以使用下列表达式:

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