CW复形

✍ dations ◷ 2025-04-02 12:57:45 #代数拓扑,同伦论,拓扑空间

CW复形,又称胞腔复形,在拓扑学上属于拓扑空间之一类,由J.H.C.怀特海德引入,用于同伦理论。其思想是构造一类空间,比单纯复形更为广泛(我们现在可以说,有更好的范畴论属性);但还要保留组合的本质,因此计算方面的考虑没有被忽略。

粗略地说,CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”(closure-finite),而“W”则代表“弱拓扑”(weak topology)。

单个 n {displaystyle n} 与CW复形的区别在于它容许一个额外的、不须带有任何胞腔结构的组件。遵照上文的定义,这个组件被视作负一维胞腔。

如果一个CW复形中胞腔的维度最大为 n {displaystyle n} 都交于闭集(相对于骨架本身的拓扑)。

CW复形的奇异同调(或上同调)可以通过胞腔同调计算。此外,在CW复形和胞腔映射的范畴内,胞腔同调可以解读成一种同调论。如要计算CW复形的广义(上)同调,阿提亚-希策布鲁赫(英语:Atiyah–Hirzebruch spectral sequence)谱序列是胞腔同调的一个类比。

以下是一些计算的实例:

因为所有微分算子皆为零(实际上,上链复形与上同调亦然)。或者,如果我们取赤道分解,使得每个维度上各有两个胞腔,那么

而微分算子是形为 ( 1 1 1 1 ) {displaystyle {begin{pmatrix}1&-1\1&-1end{pmatrix}}} 的矩阵。这个复形给出的同调与以上计算一致,因为复形在除 C 0 {displaystyle C_{0}} C n {displaystyle C_{n}} 项外都是正合的。

之所以这两例中计算都尤其简单,是因为同调完全由胞腔数目确定——换言之,胞腔的黏着映射在计算中没有扮演任何角色。这个现象只是特例,在一般情况下并不成立。

在某些专家眼中,CW复形的同伦范畴即使不是唯一的同伦范畴(基于技术原因,实际使用的版本是带基点的空间),也是同伦范畴的最佳候选。因此,可能会得出非CW复形的空间的辅助构造需尽量避免。在这方面的基本结论是布朗可表性定理:同伦范畴上的可表函子可以借助CW复形来相当精简地刻画。

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