克劳修斯－克拉佩龙方程

克劳修斯-克拉伯龙方程（英语：Clausius–Clapeyron relation）是用于描述单组分系统在相平衡时气压随温度的变化率的方法，以鲁道夫·克劳修斯和埃米尔·克拉伯龙命名。

此处${\displaystyle \mathrm{d}P/\mathrm{d}T}$是压强随温度的变化率，${\displaystyle L}$是相变焓（早年称为潜热），${\displaystyle T}$是相平衡温度，${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}V}$是相变过程中的比容变化。

使用热力学状态假设，以${\displaystyle s}$代表均质物质的比熵得出比容${\displaystyle v}$和温度${\displaystyle T}$的方程:508

在相变过程中，温度保持不变，于是:508

使用麦克斯韦关系式，可以得到:508

因为相变之中温度和压力都不变，所以压力对温度的导数并不是比容的函数:57, 62 & 671，于是其中偏微分可以变成全微分，可以求得积分关系:508

这里${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}s\equiv <!--\; \equiv \; -->s_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}-<!--\; -\; -->s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$以及${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}v\equiv <!--\; \equiv \; -->v_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}-<!--\; -\; -->v_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$分别是比熵和比容从初相态${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$到末相态${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$的变化。

对于一个内部经历可逆过程的封闭系统，热力学第一定律表达式为

使用焓的定义，并考虑到温度和压力为常数:508

将这一关系带入压力的微分的表达式，可以得到:508

这是克拉佩龙方程。

假设两个相态${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$和${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$相互关联且达到相平衡，则其化学势的关系为${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$。沿着共存曲线，我们也可以得到${\displaystyle \mathrm{d}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\mathrm{d}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$。现在用吉布斯-杜安方程${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=M(-<!--\; -\; -->s\mathrm{d}T+v\mathrm{d}P)}$，其中${\displaystyle s}$和${\displaystyle v}$分别是比熵和比容，${\displaystyle M}$是摩尔质量，可得到

因此，整理后得到

如同上面推导的延伸。

对于有气相参加的相变过程，气相比容${\displaystyle v_{\mathrm{g}}}$要远远大于固体或液体的体积${\displaystyle v_{\mathrm{c}}}$，所以固体和液体的体积可以忽略${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}v=v_{\mathrm{g}}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{v_{\mathrm{c}}}{v_{\mathrm{g}}}\right)\approx <!--\; \approx \; -->v_{\mathrm{g}}}$在较低的压力和气体分子间作用力的前提下，气体可以近似视为理想气体，${\displaystyle v_{\mathrm{g}}=RT/P,}$此处R是个别气体常数。于是:509

这就被称为克劳修斯-克拉佩龙方程。:509一般来说，相变焓${\displaystyle L}$是温度的函数，但如果相变焓随温度变化不大，那么可以积分得

这里${\displaystyle (P_1,T_1)}$和${\displaystyle (P_2,T_2)}$是P-T图上的两个点，这是很有用的一个关系，因为他联系了饱和蒸汽压、温度和相变焓。不需要比容的数据，就可以估算饱和蒸汽压随温度变化的关系。