全纯函数

✍ dations ◷ 2025-07-27 18:23:06 #全纯函数

全纯函数（英语：Holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面 ${displaystyle mathbb {C} }$ 内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。

若把 ${displaystyle mathbb {C} }$ $mathbb {C}$ 和 ${displaystyle mathbb {R^{2}} }$ ${displaystyle mathbb {R^{2}} }$ 等同起来，则全纯函数和满足柯西-黎曼方程的双实变量函数相同，该方程组含有两个偏微分方程。

在非0导数的点的附近，全纯函数是共形的。因为他们保持了小图形的角度和形状。

柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。

多复变函数的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述为一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。

全纯函数的概念可以扩展到泛函分析中的无穷维空间。Fréchet导数条目介绍了巴拿赫空间上的全纯函数的概念。

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