阶乘

在数学中，正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，计为.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}n!，例如5的阶乘计为5!，其值为120：并定义，1的阶乘1!为1、0的阶乘0!亦为1，其中，0的阶乘表示一个空积。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法： n ! = ∏ k = 1 n k ∀ n ≥ 1 {displaystyle n!=prod _{k=1}^{n}kquad forall ngeq 1} ，符号 Π {displaystyle Pi } 表示连续乘积，亦即n!=1×2×3×...×n。阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。除了自然数之外，阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），其与伽玛函数的关系为：阶乘应用在许多数学领域中，最常应用在组合学、代数学和数学分析中。在组合学中，阶乘代表的意义为n个相异对象任意排列的数量，例如前述例子，5!=120其代表了5个相异对象共有120种排列法。在正整数的情形下，n的阶乘又可以称为n的排列数。早在12世纪，印度学者就已有使用阶乘的概念来计算排列数的纪录。1677年时，法比安·斯特德曼使用Change ringing（英语：Change ringing）来解释阶乘的概念。在描述递归方法之后，斯特德将阶乘描述为：“现在这些方法的本质是这样的：一个数字的变化数包含了所有比他小的数字（包括本身）的所有变化数……因为一个数字的完全变化数是将较小数字的变化数视为一个整体，并透过将所有数字的完整变化联合起来。”，其原话如下：Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends the changes on all lesser numbers ... insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body.而符号 n!是由法国数学家Christian Kramp在1808年使用。阶乘可透过连乘积来定义：用连乘积符号可表示为：从上述公式中，可以推导出递推关系：但递归定义须给出base case，因此需要定义零的阶乘。 除此之外，递推关系在阶乘函数中各个值皆成立，例如：为了将递推关系扩展到n = 0，因此需要定义0的阶乘：可以得到有几个独立的理由认为这个定义是和谐的。 其中包括：n!可素因子分解为 ∏ p ≤ n p ∑ r = 1 n [ n p r ] {displaystyle prod _{pleq n}p^{sum _{r=1}^{n}}} ，如6!=24×32×51。计算n!时，当n不太大时，普通的科学计算机都可以计算，能够处理不超过 10 100 {displaystyle 10^{100}} （古高尔）数值的计算机可以计算至69!，而双精度浮点数的计算机则可计算至170!。当n很大时，可以用斯特林公式估计： n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {displaystyle n!approx {sqrt {2pi n}};left({frac {n}{e}}right)^{n}} 更精确的估计是： n ! = 2 π n ( n e ) n e λ n {displaystyle n!={sqrt {2pi n}};left({frac {n}{e}}right)^{n}e^{lambda _{n}}} 其中 1 12 n + 1 < λ n < 1 12 n {displaystyle {frac {1}{12n+1}}<lambda _{n}<{frac {1}{12n}}}阶乘原始的定义是在整数，为离散，然而在部分领域如概率论要探讨到连续或其他需求（如组合数当取出的数量大于原有的数量会出现负阶乘）时，则需要将阶乘从正整数推广到实数，甚至是复数。除了非负整数之外，还可以为非整数值定义阶乘函数，但这需要使用更高级的数值分析方法。可以透过插值的方式将阶乘两整数之间填入数值，但其插入的数值必须也要满足阶乘的递归定义。一个良好的插值结果是Γ函数，其为所有非负整数和复数给出了定义，而当z的实部为正时，可以透过下列瑕积分来计算Γ函数值：它与阶乘的关系是对于任何自然数n满足：可以透过Γ函数来计算复数的阶乘。右图显示了复数阶乘之模与辐角的等值线令f为：右图显示了几个模（绝对值）ρ与辐角φ的几个等级，图表的绘制范围为−3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2个单位长。较粗的铅直线为辐角值为φ = ±π的等值线。细线表示模或辐角相等之函数值的位置。在每个负整数的位置为奇点，无法定义其模和辐角，并且在离奇点越近的地方，等值线的密度就越密集。在|z| < 1时，可使用泰勒级数来计算：其泰勒级数的前几项系数为：其中，γ为欧拉-马斯刻若尼常数部分计算机代数的系统存在可以直接产生这些展开式系数的语法，例如SageMath。此种方式甚至可以将阶乘推广至四元数甚至其他数学结构。较大的阶乘值可透过双伽玛函数积分的连续分数来近似，这个方法由T. J. Stieltjes于1894提出。将阶乘写为z! = eP(z)，其中P(z)为：Stieltjes给出了其连分数值：前几项系数an为：负整数的阶乘可透过阶乘的递归定义n! = n × (n − 1)!逆推而得：但由于计算负一阶乘会出现除以零，因此无法直接给出负整数的阶乘。透过伽玛函数或其展开式亦可以将阶乘扩展到其他能定义加法和乘法等基本运算的数学结构，如矩阵。矩阵的阶乘具有如下性质：并且 Γ ( I ) = I {displaystyle Gamma (I)=I} ，其中， I {displaystyle I} 是单位矩阵、 A {displaystyle A} 是一个方阵，同时 A ! {displaystyle A!} 是一个非奇异矩阵。换句话说，即矩阵 A {displaystyle A} 为单位矩阵的标量 n {displaystyle n} 倍，其阶乘为 A ! = ( n I ) ! = n ! I {displaystyle A!=(nI)!=n!I} ，例如 ( n 0 0 n ) ! = n ! I = ( n ! 0 0 n ! ) {displaystyle {bigl (}{begin{smallmatrix}n&0\0&nend{smallmatrix}}{bigr )}!=n!I={bigl (}{begin{smallmatrix}n!&0\0&n!end{smallmatrix}}{bigr )}}对于一个可对角化矩阵 ( a b c d ) {displaystyle {bigl (}{begin{smallmatrix}a&b\c&dend{smallmatrix}}{bigr )}} 其阶乘为：其中， λ 1 {displaystyle lambda _{1}} 和 λ 2 {displaystyle lambda _{2}} 是 ( a + 1 b c d + 1 ) {displaystyle {bigl (}{begin{smallmatrix}a+1&b\c&d+1end{smallmatrix}}{bigr )}} 的特征值，分别为 λ 1 = 1 + ( a + d − Ω ) 2 {displaystyle lambda _{1}=1+{begin{smallmatrix}{frac {left(a+d-Omega right)}{2}}end{smallmatrix}}} 和 λ 2 = 1 + ( a + d + Ω ) 2 {displaystyle lambda _{2}=1+{begin{smallmatrix}{frac {left(a+d+Omega right)}{2}}end{smallmatrix}}} ，其中， Ω = ( a − d ) 2 + 4 b c {displaystyle Omega ={begin{smallmatrix}{sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}end{smallmatrix}}}阶乘的定义可推广到复数，其与伽玛函数的关系为：伽玛函数满足 Γ ( n + 1 ) = ( n ) Γ ( n ) {displaystyle Gamma (n+1)=(n)Gamma (n)} ，另一种定义扩展是阿达马伽玛函数，但由于其不在所有实数上皆能满足阶乘的递归定义，只有在正整数上满足阶乘的递归定义n! = n × (n − 1)!因此比较少被拿出来讨论。其后面的项 1 Γ ( 1 − x ) {displaystyle {frac {1}{Gamma (1-x)}}} 只有在正整数的情形为零。也因为其有加上一项，也因此，此扩展在描述负阶乘时不会有除以零的情况，而使阿达马伽玛函数是一个处处连续、无奇点的函数。n ! ! {displaystyle n!!} 表示双阶乘，其定义为： ( 2 n − 1 ) ! ! = 1 × 3 × 5 × 7 × ⋯ × ( 2 n − 1 ) {displaystyle (2n-1)!!=1times 3times 5times 7times cdots times (2n-1)}( 2 n ) ! ! = 2 × 4 × 6 × 8 × ⋯ × ( 2 n ) = 2 n n ! {displaystyle (2n)!!=2times 4times 6times 8times cdots times (2n)=2^{n}n!}无视上述定义的n!!因为即使值的N，双阶乘为奇数可扩展到最实数和复数z的注意到，当z是一个正的奇数则：获得的表达接受一个以上公式 ( 2 n + 1 ) ! ! {displaystyle (2n+1)!!} 和 ( 2 n − 1 ) ! ! {displaystyle (2n-1)!!} 并表示在条件发生的阶乘函数的γ既可以看出（使用乘法定理）等同于一个给定在这里。z!!定义为所有复数除负偶数。使用它的定义，半径为R的n维超球其体积可表示为：n ! ( k ) {displaystyle n!^{(k)}} 被称为n的k重阶乘，定义为：能将多重阶乘推广到复数（甚至是四元数）所谓的四次阶乘（又称四重阶乘） 不是 n!(4)，而是 (2n)!/n!,前几个四次阶乘为它也等于hyper阶乘（hyperfactorial有时译作过度阶乘）写作H（n），其定义为：hyper阶乘和阶乘差不多，但产生更大的数。hyper阶乘的增长速度却并非跟一般阶乘在大小上相差很远。 前几项的hyper阶乘为：1995年，尼尔·斯洛恩和西蒙·普劳夫定义了超阶乘（superfactorial）为首n个阶乘的积。即sf(n)=1!×2!×3!×...×n!。一般来说前几项的超阶乘为：柯利弗德·皮寇弗在他的书Key to Infinity定义了另一个超阶乘，写作 n S ! {displaystyle nmathrm {S} !!!!!;,{!}} （ n S ! {displaystyle nmathrm {S} !!!!!;,{!}} 实际上应该是!和S重叠在一起）： n S ! = n ( 4 ) n {displaystyle nmathrm {S} !!!!!;,{!}=n^{(4)}n} ，(4)表示hyper4，使用高德纳箭号表示法即 n S ! = ( n ! ) ↑↑ ( n ! ) {displaystyle nmathrm {S} !!!!!;,{!}=(n!)uparrow uparrow (n!)} 。这个数列：素数阶乘是所有小于或等于该数且大于或等于2的素数的积，自然数n的素数阶乘，写作n#。目前素数阶乘只能用递归方式定义，因为尚未找到一个能用基本函数表示所有素数的函数或一条包含所有素数的曲线一般情况下素数阶乘定义为：其中, π(n)是素数计数函数，小于或等于某个实数n的素数的个数的函数≤n。阶幂也称叠幂或者重幂记作 n ! {displaystyle n^{!}} （感叹号!写在自然数的右上角），它的定义是将自然数1至n的数由大到小作幂指数重叠排列，数学定义如下：其中n ≥ 1，前几项的重幂数为：1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS中的数列A049384）第5个重幂数是一个有183231位阿拉伯数字组成的超大自然数，其值约为 6.20606987866 × 10 183230 {displaystyle 6.20606987866times 10^{183230}}另外一种定义则是每个阶幂都先取一次阶乘：二次阶幂：相应地，m次阶幂定义如下：其中n，m≥1，且n，m∈Z。倒数阶乘是指所有小于及等于该数的正整数之倒数的积，其值与阶乘的倒数相同：其无穷级数收敛在e：考量阶乘可以表示为连续的伽玛函数，则有这个值又称为弗朗桑－罗宾逊常数（英语：Fransén–Robinson_constant）。