电感

电感（Inductance）是闭合回路的一种属性，即当通过闭合回路的电流改变时，会出现电动势来抵抗电流的改变。如果这种现象出现在自身回路中，那么这种电感称为自感（self-inductance），是闭合回路自己本身的属性。假设一个闭合回路的电流改变，由于感应作用在另外一个闭合回路中产生电动势，这种电感称为互感（mutual inductance）。电感以方程表达为

其中，${\displaystyle \mathcal{E}}$是电动势，${\displaystyle L}$是电感，${\displaystyle i}$是电流，${\displaystyle t}$是时间。

术语“电感”是1886年由奥利弗·赫维赛德命名。通常自感是以字母“L”标记，这可能是为了纪念物理学家海因里希·楞次的贡献。互感是以字母“M”标记，是其英文（Mutual Inductance）的第一个字母。采用国际单位制，电感的单位是亨利（henry），标记为“H”，是因美国科学家约瑟·亨利命名。1 H = 1 Wb/A。

电感器是专门用在电路里实现电感的电路元件。螺线管是一种简单的电感器，指的是多重卷绕的导线（称为“线圈”），内部可以是空心的，或者有一个金属芯。螺线管的电感是自感。变压器是两个耦合的线圈形成的电感器，由于具有互感属性，是一种基本磁路元件。在电路图中电感的电路符号多半以L开头，例如，L01、L02、L100、L201等。

应用麦克斯韦方程组，可以计算出电感。很多重要案例，经过简化程序后，可以被解析。当涉及高频率电流和伴随的集肤效应，经过解析拉普拉斯方程，可以得到面电流密度与磁场。假设导体是纤细导线，自感仍旧跟导线半径、内部电流分布有关。假若导线半径超小于其它长度尺寸，则这电流分布可以近似为常数（在导线的表面或体积内部）。

如右图所示，流动于闭合回路的含时电流${\displaystyle i(t)}$所产生的含时磁通量${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(i)}$，根据法拉第电磁感应定律，会促使闭合回路本身出现感应电动势${\displaystyle \mathcal{E}}$：

其中，${\displaystyle N}$是闭合回路的卷绕匝数。

设定电感${\displaystyle L}$为

则感应电动势与含时电流之间的关系为

由此可知，一个典型的电感元件中，在其几何与物理特性都固定的状况下，产生的电压${\displaystyle v}$为：

电感的作用是抵抗电流的变化，但是这种作用与电阻阻碍电流的流动是有区别的。电阻阻碍电流的流动的特征是消耗电能，而电感则纯粹是抵抗电流的变化。当电流增加时电感抵抗电流的增加；当电流减小时电感抵抗电流的减小。电感抵抗电流变化的过程并不消耗电能，当电流增加时它会将能量以磁场的形式暂时储存起来，等到电流减小时它又会将磁场的能量释放出来，其效应就是抵抗电流的变化。

如右图所示，流动于闭合回路1的含时电流${\displaystyle i_1(t)}$，会产生磁通量${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_2(t)}$穿过闭合回路2，促使闭合回路2出现感应电动势${\displaystyle {\mathcal{E}}_2}$。穿过闭合回路2的磁通量和流动于闭合回路1的含时电流，有线性关系，称为互感${\displaystyle M_{21}}$，以方程表达为。

计算互感，可使用纽曼公式（Neumann formula)：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}$是磁常数，${\displaystyle {\mathbb{C}}_1}$是闭合回路1，${\displaystyle {\mathbb{C}}_2}$是闭合回路2，${\displaystyle {\mathbf{X}}_1}$是微小线元素${\displaystyle \mathrm{d}{\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}_1}$的位置，${\displaystyle {\mathbf{X}}_2}$是微小线元素${\displaystyle \mathrm{d}{\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}_2}$的位置。

由此公式可见，两个线圈之间互感相同：${\displaystyle M_{12}=M_{21}}$，且互感是由两个线圈的形状、尺寸和相对位置而确定。

穿过闭合回路2的磁通量${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_2(t)}$为

其中，${\displaystyle {\mathbb{S}}_2}$是边缘为${\displaystyle {\mathbb{C}}_2}$的任意曲面，${\displaystyle \mathrm{d}{\mathbf{a}}_2}$是微小面元素。

改用磁矢势${\displaystyle {\mathbf{A}}_1}$计算：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_2}$是对于变矢量${\displaystyle {\mathbf{X}}_2}$的偏微分。

应用斯托克斯公式，可以得到

磁矢势${\displaystyle {\mathbf{A}}_1({\mathbf{X}}_2,t)}$的定义式为

磁通量与流动于闭合回路1 ${\displaystyle {\mathbb{C}}_1}$的电流${\displaystyle i_1}$的关系式为

所以，互感为

这方程称为纽曼公式（Neumann formula）。注意到对换闭合回路${\displaystyle {\mathbb{C}}_1}$与${\displaystyle {\mathbb{C}}_2}$不会改变结果，${\displaystyle M_{21}=M_{12}}$，因此，可以以变数${\displaystyle M}$统一代表。

类似地，穿过闭合回路1的磁通量${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_1(t)}$为

除去所有下标，令${\displaystyle \mathbb{C}}$、${\displaystyle {\mathbb{C}}^{\prime }}$代表同一闭合回路，自感以方程表示为

当${\displaystyle {\mathbf{X}}_1={\mathbf{X}}_1^{\prime }}$时，这积分可能会发散，需要特别加以处理。另外，若假设闭合回路为无穷细小，则在闭合回路附近，磁场会变得无穷大，磁通量也会变得无穷大，所以，必须给予闭合回路有限尺寸，设定其截面半径${\displaystyle r_0}$超小于径长${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_0}$，

有很多种方法可以化解这困难。例如，令${\displaystyle \mathbb{C}}$为闭合回路的中心曲轴，令${\displaystyle {\mathbb{C}}^{\prime }}$为闭合回路的表面，则${\displaystyle {\mathbf{X}}_1\ne <!--\; \ne \; -->{\mathbf{X}}_1^{\prime }}$，这积分就不会发散了。

将前面论述加以推广，思考${\displaystyle K}$条闭合回路，设定第${\displaystyle k}$条闭合回路的卷绕匝数为${\displaystyle N_k}$，载有电流${\displaystyle i_k}$，则其磁链${\displaystyle N_k{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_k}$为

其中，${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_k}$是穿过第${\displaystyle k}$条闭合回路的磁通量，${\displaystyle L_{k,k}=L_k}$是自感，${\displaystyle L_{k,n}=M_{k,n},k\ne <!--\; \ne \; -->n}$是互感。

由于第${\displaystyle n}$条闭合回路对于磁通量${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_k}$的总贡献是卷绕匝数乘以电流，即${\displaystyle N_n{i}_n}$，所以，${\displaystyle L_{k,n}}$与乘积${\displaystyle N_k{N}_n}$成正比。

从法拉第电磁感应定律，可以得到

其中，${\displaystyle v_k}$是第${\displaystyle k}$条闭合回路的感应电压。

第${\displaystyle k}$条闭合回路的电功率${\displaystyle p_k}$为

假设原先所有电流为零，即${\displaystyle i_1=i_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=i_K=0}$ ,储存于所有闭合回路的总磁能为${\displaystyle 0}$。现在，将第一条闭合回路的电流${\displaystyle i_1}$平滑地从${\displaystyle 0}$增加到${\displaystyle I_1}$，同时保持其它闭合回路的电流不变，则储存于第一条闭合回路的磁能${\displaystyle W_1}$为

然后，将第二条闭合回路的电流${\displaystyle i_2}$平滑地从${\displaystyle 0}$增加到${\displaystyle I_2}$，同时保持其它闭合回路的电流不变，则储存于第二条闭合回路的磁能${\displaystyle W_2}$为

案照这方法继续地计算，储存于第${\displaystyle k}$条闭合回路的磁能${\displaystyle W_k}$为

所以，当每一个闭合回路的电流都平滑地增加到其最终电流之后，储存于所有闭合回路的总磁能${\displaystyle W}$为

假设将${\displaystyle I_n}$与${\displaystyle I_k}$的数值交换，总磁能${\displaystyle W}$不会改变。满足可积分条件${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}W}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_n\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_k}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}W}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_k\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_n}}$，必需要求${\displaystyle L_{k,n}=L_{}}$