庞加莱对偶性

✍ dations ◷ 2025-06-30 21:58:52 #同调论,对偶理论,流形,数学定理

数学上,庞加莱对偶定理是流形的同调及上同调群的结构的基本定理,以昂利·庞加莱命名。这定理说若是维有向闭流形(即紧致且无边界),则的第阶上同调群同构于的第( − )阶同调群。对所有整数

庞加莱对偶定理于任何系数环都成立,只需在流形上相对于系数环而取定向。特别是由于流形于模2都有唯一定向,故于模2时庞加莱对偶定理不需假设定向就成立。

庞加莱对偶定理的一个形式最初由庞加莱于1893年提出,没有证明。当时他用贝蒂数来表达:一个维可定向闭流形的第个和第( − )个贝蒂数相等。其时未有上同调的概念,须待四十年后才得以厘清。庞加莱在1895年的论文《Analysis Situs》中尝试用他创造的拓扑相交理论去证明定理。波尔·赫高对这篇论文的批评,令庞加莱发现他的证明有重大错误。庞加莱在论文的附录首两篇中,用对偶三角剖份给出新证明。

直至1930年代上同调概念出现,庞加莱对偶定理的现代形式才出现。爱德华·切赫和哈斯勒·惠特尼发明了杯积和笠积,用这些新概念表达庞加莱对偶定理。

庞加莱对偶定理的现在形式是以同调和上同调给出:若是闭有向-流形,是整数,则有从第阶上同调群()到第( − )阶同调群 − ()的典范同构。(此处的同调和上同调取整数环为系数,但这个同构对任何系数环都成立。)更确切而言,这个同构将()的元素,映射到这个元素与的一个基本类的杯积,而有向流形都存在基本类。

对非紧致有向流形,需把上同调用紧支上同调代替。

负数阶的同调和上同调群定义为零,所以庞加莱对偶性推导出闭有向-流形大于阶的同调和上同调群是零。

相关

  • 鼻部 (部首)鼻部,为汉字索引中的部首之一,康熙字典214个部首中的第二百〇九个(十四划的则为第一个)。就繁体和简体中文中,鼻部归于十四划部首。鼻部大都以左方为部字。且无其他部首可用者将
  • 维朗德里城堡维朗德里城堡(法语:Château de Villandry)是位于法国城市维朗德里 (安德尔-卢瓦尔省)的一座法式城堡,以其法式花园知名。2000年,维朗德里城堡作为卢瓦尔河谷城堡群的其中之一,被
  • XHTML1.0 (Recommendation), 1.1 (Recommendation), 1.1 SE (Working Draft), 5 (Working Draft),可扩展超文本标记语言(英语:eXtensible HyperText Markup Language,XHTML),是一种标
  • 蜂蚁亚科查看内文蜂蚁亚科(Sphecomyrminae)隶属于蚁科,是一个已灭绝的亚科,在北美洲、欧洲及亚洲有多笔白垩纪化石的纪录。蜂蚁亚科包含10个属,下分为2个族,幽冥蚁族(Haidomyrmecini)与蜂蚁
  • 万豪酒店万豪酒店(全称:万豪酒店及度假村,英语:Marriott Hotels & Resorts)是万豪国际旗下的顶级酒店品牌。本品牌酒店总部设于美国马里兰州,曾多次入选福布斯最佳理想工作公司,2009年被时
  • 独立城独立城(英语:Independence)是位于美国密苏里州杰克逊县的一座城市,也是该县的县治所在。根据美国人口调查局2010年统计,共有人口116,830人,其中白人占91.87%、非裔美国人2.59%。它
  • 江南东道江南东道,唐代地方监察机构,开元二十一年(733年)以江南道分置,其地辖为今江苏省苏南、上海市、浙江省、福建省及安徽省徽州。治所在苏州(今江苏省苏州市),领原江南道润、常、苏、湖
  • 2019冠状病毒病青海省疫情2019冠状病毒病青海省疫情,介绍2019冠状病毒病疫情中,在中华人民共和国青海省发生的情况。1月25日,青海省卫生健康委员会宣布,青海省确认首例新型冠状病毒感染的肺炎确诊病例。1
  • 岳金堂岳金堂(1831年-1899年),字镇侯,直隶大名府元城县(今河北省大名县)人。晚清将领。武榜眼。同治二年(1863年)癸亥恩科一甲第二名武进士。授官二等侍卫。后出山东东昌府为官,累升参将。光
  • 阿诺德·巴克斯阿诺德·埃德华·特雷弗·巴克斯爵士,KCVO(英语:Sir Arnold Edward Trevor Bax,1883年11月8日-1953年10月3日),英国作曲家,诗人。巴克斯生于伦敦一个祖籍荷兰的中上层家庭,小时候即展