庞加莱对偶性

✍ dations ◷ 2025-04-02 09:43:57 #同调论,对偶理论,流形,数学定理

数学上,庞加莱对偶定理是流形的同调及上同调群的结构的基本定理,以昂利·庞加莱命名。这定理说若是维有向闭流形(即紧致且无边界),则的第阶上同调群同构于的第( − )阶同调群。对所有整数

庞加莱对偶定理于任何系数环都成立,只需在流形上相对于系数环而取定向。特别是由于流形于模2都有唯一定向,故于模2时庞加莱对偶定理不需假设定向就成立。

庞加莱对偶定理的一个形式最初由庞加莱于1893年提出,没有证明。当时他用贝蒂数来表达:一个维可定向闭流形的第个和第( − )个贝蒂数相等。其时未有上同调的概念,须待四十年后才得以厘清。庞加莱在1895年的论文《Analysis Situs》中尝试用他创造的拓扑相交理论去证明定理。波尔·赫高对这篇论文的批评,令庞加莱发现他的证明有重大错误。庞加莱在论文的附录首两篇中,用对偶三角剖份给出新证明。

直至1930年代上同调概念出现,庞加莱对偶定理的现代形式才出现。爱德华·切赫和哈斯勒·惠特尼发明了杯积和笠积,用这些新概念表达庞加莱对偶定理。

庞加莱对偶定理的现在形式是以同调和上同调给出:若是闭有向-流形,是整数,则有从第阶上同调群()到第( − )阶同调群 − ()的典范同构。(此处的同调和上同调取整数环为系数,但这个同构对任何系数环都成立。)更确切而言,这个同构将()的元素,映射到这个元素与的一个基本类的杯积,而有向流形都存在基本类。

对非紧致有向流形,需把上同调用紧支上同调代替。

负数阶的同调和上同调群定义为零,所以庞加莱对偶性推导出闭有向-流形大于阶的同调和上同调群是零。

相关

  • 中大西洋区中大西洋州份(英语:Mid-Atlantic), 通常是指美国境内的在新英格兰和美国南大西洋地区之间的地区。根据不同来源,有不同的定义,它一般包括纽约州、新泽西州、宾夕法尼亚州、特拉华
  • 被囊动物亚门见内文被囊动物亚门(学名:Tunicata),旧称尾索动物亚门(Urochordata),是脊索动物门的一个亚门。本纲动物脊索和背神经管仅存于幼体尾部,成体退化消失。身体表面披有一层棕褐色植物性
  • 堂亲堂亲是指跟自己父亲有血缘关系的同姓氏男性亲人及其姻亲和后代;粗略地来说,如果不考虑改姓、随母姓等特殊情况,除了父母及两人的直系后代之外,来自父亲一方同姓的血亲(父亲兄弟及
  • 比勒陀利亚比勒陀利亚(南非语:Pretoria,英语:Pretoria,祖鲁语:ePitoli,札那语:Tshwane),是位于南非豪登省(Gauteng)北部的城市,亦是南非的行政首都。南非总统府位于这个城市内,各国使馆亦集中于此城
  • 哈密顿算符量子力学中,哈密顿算符(英语:Hamiltonian,缩写符号:H或 H ^
  • 皇家全国救生艇协会皇家全国救生艇协会(Royal National Lifeboat Institution,缩写:RNLI)是一个提供不列颠群岛附近海域救生服务的慈善组织。由乔治五世提供赞助而成立于1824年3月4日,当时称“Natio
  • 路易斯安纳州路易斯安那州(法语:État de la Louisiane; 英语:State of Louisiana),简称路州,是美国的一个州,位于墨西哥湾沿岸。此州以对比强烈的文化、地理景观著名。如嘉年华会的狂欢和荒野
  • 中央直辖区中央直辖区(英语:Union territory;或作“联邦属地”、“联邦直辖区”)是印度直属中央政府管辖的一级行政区划单位。在印度,“中央直辖区”和“邦”的主要区别在于“邦”有自己的
  • 蒙纱的基督坐标:40°50′57″N 14°15′18″E / 40.84919°N 14.25488°E / 40.84919; 14.25488蒙纱的基督(意大利语:)是由朱塞佩Sanmartino(英语:Giuseppe Sanmartino)所雕刻的一尊大理石像,
  • 白花蛇草水白花蛇草水,是一种以白花蛇舌草为成分的饮料,最早由中国青岛崂山矿泉水有限公司于1962年开始生产。1962年,根据当时外贸部门反馈的外商需求信息,为适应市场需求,丰富产品品种和扩