庞加莱对偶性

✍ dations ◷ 2025-11-03 20:24:14 #同调论,对偶理论,流形,数学定理

数学上，庞加莱对偶定理是流形的同调及上同调群的结构的基本定理，以昂利·庞加莱命名。这定理说若是维有向闭流形（即紧致且无边界），则的第阶上同调群同构于的第( − )阶同调群。对所有整数

庞加莱对偶定理于任何系数环都成立，只需在流形上相对于系数环而取定向。特别是由于流形于模2都有唯一定向，故于模2时庞加莱对偶定理不需假设定向就成立。

庞加莱对偶定理的一个形式最初由庞加莱于1893年提出，没有证明。当时他用贝蒂数来表达：一个维可定向闭流形的第个和第( − )个贝蒂数相等。其时未有上同调的概念，须待四十年后才得以厘清。庞加莱在1895年的论文《Analysis Situs》中尝试用他创造的拓扑相交理论去证明定理。波尔·赫高对这篇论文的批评，令庞加莱发现他的证明有重大错误。庞加莱在论文的附录首两篇中，用对偶三角剖份给出新证明。

直至1930年代上同调概念出现，庞加莱对偶定理的现代形式才出现。爱德华·切赫和哈斯勒·惠特尼发明了杯积和笠积，用这些新概念表达庞加莱对偶定理。

庞加莱对偶定理的现在形式是以同调和上同调给出：若是闭有向-流形，是整数，则有从第阶上同调群()到第( − )阶同调群₋()的典范同构。（此处的同调和上同调取整数环为系数，但这个同构对任何系数环都成立。）更确切而言，这个同构将()的元素，映射到这个元素与的一个基本类的杯积，而有向流形都存在基本类。

对非紧致有向流形，需把上同调用紧支上同调代替。

负数阶的同调和上同调群定义为零，所以庞加莱对偶性推导出闭有向-流形大于阶的同调和上同调群是零。

相关

博多语博多语（बर' ）是印度阿萨姆邦的官方语言之一（该邦的主要官方语言是阿萨姆语），属于汉藏语系的萨尔语群，接近中国的景颇语。这个语言有两个声调，音节结构简单，没有复辅音。
kDa原子质量单位（Atomic mass unit，amu），现称统一原子质量单位（Unified atomic mass unit，u）或道尔顿（dalton，Da），是用来衡量原子质量的单位，定义为静止未键结且处于基态碳12原子质量的1/12
肌纤维肌细胞也称为肌纤维，可以在肌肉组织中见到，这些细胞型态上属于长型且管状，肌肉细胞是从肌肉母细胞发育而来。经过肌肉生成（英语：Myogenesis）后肌细胞会特化成数种型态，包括骨骼肌、
纹状体纹状体是端脑皮质下的一部分。这是基底核的主要输入区。在解剖学上，纹状体包括了尾核（Caudate nucleus）和被壳（Putamen）。具有调节肌肉张力、协调复杂运动的功能。纹状体依赖多
隆裕太后孝定景皇后（满语：ᡥᡳᠶᠣᠣᡧᡠᠩᡤᠠ ᡨᠣᡴᠣᠩᡤᠣ ᠠᠮᠪᠠᠯᡳᠩᡤᡡ ᡥᡡᠸᠠᠩᡥᡝᠣ，穆麟德：hiyoošungga toktonggo ambalinggū hūwangheo，太清：hiyouxungga toktongg
安禄战役南越军增援部队：总数：7,500人（在安禄）支援部队：北越军越共美国等国正式介入之后美国撤出至南越灭亡安禄战役，（越南语：Trận An Lộc，英语：Battle of An Lộc）是越南战争后期的一场战斗，
菲利普·狄克菲利普·金德里德·狄克（Philip Kindred Dick，1928年12月16日－1982年3月2日），美国的科幻小说作家，除了现在仍在发行的38本书外，他还写了一些短篇小说和少数作品出版在廉价杂志上，其
华伦泰·巴格曼华伦泰·巴格曼（德语：Valentine Bargmann，1908年4月6日－1989年7月20日），出生于德国柏林的物理学家与数学家。从1925到1933年，巴格曼就读于柏林大学。希特勒夺得德国政权后，巴格曼转
海伦·班尼曼海伦·班尼曼（英语：Helen Bannerman，1862年－1946年），英国作家，最著名的作品是《小黑人桑波》（Little Black Sambo）。海伦·班尼曼生于英国爱丁堡。1899到1918年间，她随担任军医的丈夫
东平大押东平大押，是广州越秀一栋清代建筑，是以前广州的第二大当铺，在中山四路1号，后来闲置，2010年改为典当博物馆。