方向导数

方向导数是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向导数是偏导数的概念的推广，也是加托导数的一个特例。

${\displaystyle f:U\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathbb{R}}$的邻域内有定义且在点可微的函数，都有：

如果函数${\displaystyle f}$ 的矩阵)。

如果函数在某一点可微，则其在这一点上沿任何向量的方向导数都存在。但反之则不然。即便一个函数在某一点上沿任何向量的方向导数都存在，它也有可能在这一点上不可微，甚至不连续。

如果一个标量场在某点沿任意方向的方向导数都存在，则其中必有最大的一个。由柯西不等式可知，方向导数的最大值等于其梯度的范数，当且仅当沿着其梯度的方向时取到。这也说明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向:36。

设是一个可微流形，是上的一个点。假设是在的邻域内有定义且在点可微的函数。如果是在点的一个切向量，则沿着方向的方向导数可以定义如下。设γ : → 是一个可微曲线，γ(0) = ，且γ′(0) = 。则方向导数定义为：

法向导数是在空间里沿着某个曲面的法线方向（也就是垂直该曲面）的方向导数，或者更一般地，沿着某个超曲面（hyperface）的法向量的方向导数。参见诺伊曼边界条件。如果法线方向记为${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}}$，则函数 ${\displaystyle f}$ 的法向导数有时记为 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}}$。