方向导数

✍ dations ◷ 2025-07-07 07:46:01 #微分学,微分几何,多变量微积分,导数的推广

方向导数是分析学特别是多元微积分中的概念。一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数,描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。方向导数是偏导数的概念的推广,也是加托导数的一个特例。

f : U R {\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} } 的邻域内有定义且在点可微的函数,都有:


如果函数 f {\displaystyle f} 的矩阵)。

如果函数在某一点可微,则其在这一点上沿任何向量的方向导数都存在。但反之则不然。即便一个函数在某一点上沿任何向量的方向导数都存在,它也有可能在这一点上不可微,甚至不连续。

如果一个标量场在某点沿任意方向的方向导数都存在,则其中必有最大的一个。由柯西不等式可知,方向导数的最大值等于其梯度的范数,当且仅当沿着其梯度的方向时取到。这也说明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向:36。

设是一个可微流形,是上的一个点。假设是在的邻域内有定义且在点可微的函数。如果是在点的一个切向量,则沿着方向的方向导数可以定义如下。设γ : → 是一个可微曲线,γ(0) = ,且γ′(0) = 。则方向导数定义为:

法向导数是在空间里沿着某个曲面的法线方向(也就是垂直该曲面)的方向导数,或者更一般地,沿着某个超曲面(hyperface)的法向量的方向导数。参见诺伊曼边界条件。如果法线方向记为 n {\displaystyle {\vec {n}}} ,则函数 f {\displaystyle f} 的法向导数有时记为 f n {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}}

相关

  • 最终宿主宿主(英语:Host),也称为寄主,是指为寄生物包括寄生虫、病毒等提供生存环境的生物。最终宿主(primary host或definitive host)是指寄生物的成虫赖以寄生的物种。这类宿主通常为寄生
  • 香槟液泡香槟液泡(英语:Glistening)是发生于软性可折叠式的人工水晶体在白内障手术植入眼内一段时间后 ,镜片内容易产生细小液泡的一种现象 ,这些细小液泡称为之香槟液泡。可能原因很多
  • span style=color: white;投资银行/span欧洲投资银行(英语:European Investment Bank;法语:Banque européenne d'investissement;德语:Europäische Investitionsbank)是欧盟的金融机构,1958年根据罗马条约创立,总部在卢森
  • 中南大羚属中南大羚(学名:Pseudoryx nghetinhensis),又称为武广牛、安南锭角羚、剑角牛、索拉羚等,是偶蹄目下牛科中南大羚属中的单一物种,1992年才被发现,被誉为亚洲麒麟、亚洲独角兽(Asian u
  • 松口蘑松口蘑(学名:),俗称松茸,是属于口蘑科口蘑属下的一种食用蕈,具有独特的浓郁香味。在日本,松茸被视为食用蕈中的极品,可以说松茸之于日本人就犹如松露之于法国人。松茸好生于养份不多
  • 厄玛奴耳三世·德利厄玛奴耳三世·德利(阿拉伯语:مار عمانوئيل الثالث دلّي‎;1927年10月26日-2014年4月8日)是伊拉克籍天主教主教级枢机及加色丁礼天主教巴比伦宗主教区宗主
  • 虹野沙希虹野沙希(虹野沙希)是科乐美第一套恋爱模拟游戏《心跳回忆》(ときめきメモリアル)的女主角,《心跳回忆》女主角群中只有她的人气度可以媲美藤崎诗织。虹野沙希在《心跳回忆》中所
  • 周德华 (唐朝)周德华(?年-?年),周季崇与刘采春的女儿,善歌《杨柳枝词》。《杨柳枝曲》作者说法不一。有的记载为周德华采贺知章、滕迈、杨巨源、韩琮、刘禹锡等人之作为歌词,也有说是刘禹锡的作品
  • 卡尔·奥古斯特 (萨克森-魏玛-艾森纳赫大公世子)卡尔·奥古斯特(全名: Wilhelm Nikolaus Alexander Michael Bernhard Heinrich Friedrich Stefan,1844年7月31日-1894年11月20日),萨克森-魏玛-艾森纳赫大公世子。卡尔·奥古斯特
  • 孝成许皇后许皇后,许姓,真名失传(前1世纪?-前8年),出身昌邑(今山东省金乡县)。汉成帝第一任皇后,智商极高,能看懂历史学书籍。后被废。许氏是汉宣帝贫贱发妻许平君的堂弟许嘉之女。汉元帝为了补