布莱克-舒尔斯模型

布莱克-舒尔斯模型（英语：Black-Scholes Model），简称BS模型，是一种为金融衍生工具中的期权定价的数学模型，由美国经济学家迈伦·舒尔斯与费希尔·布莱克首先提出。此模型适用于没有派发股息的欧式期权。罗伯特·C·墨顿其后修改了数学模型，使其于有派发股息时亦可使用，新模型被称为布莱克-舒尔斯-墨顿模型（英语：Black–Scholes–Merton model）。

此模型的应用是透过买卖价格过高或是过低的期权，并同时与持有的资产对冲，来消除可能潜在的风险，并因此而套利。此方法也被称为“动态 Delta中性”。此公式问世后带来了期权市场的繁荣，并且也是在投资银行与对冲基金中被广为使用的基础模型。

虽然在很多情况下被使用者进行一定的改动和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的“波动率的微笑（英语：Volatility smile）”。然而它假设价格的变动，会符合正态分配（即俗称的钟形曲线），但在金融市场上经常出现符合统计学厚尾现象的事件，这影响此公式的有效性。

1997年，迈伦·舒尔斯和罗伯特·C·墨顿借该模型获得诺贝尔经济学奖。费希尔·布莱克不幸在1995年离世，因此未能获奖。

BS模型假设金融市场存在最少一种风险资产（如股票）及一种无风险资产（现金或债券）。

假设金融资产是：

假设金融市场是：

此外，假设期权是欧式期权，即只可在特定日期行权。

对于有效期内不派发红利的欧式期权，其价格遵从以下偏微分方程：

把方程重写成左右两边：

左方代表期权的时间值及与即期价格的凸性（英语：Convexity (finance)）。右方代表期权长仓的无风险回报及${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}}$股标的物短仓。

利用以下约束条件，可解认购期权（Call Option）的理论值。

认购期权的理论价格是：

其中：

布莱克-舒尔斯模型假定在期权有效期内标的股票不派发股息。若派发股息需改用布莱克-舒尔斯-墨顿模型，其公式如下：${\displaystyle {\displaystyle C=S\times <!--\; \times \; -->e^{-<!--\; -\; -->k\times <!--\; \times \; -->t}\times <!--\; \times \; -->N(d_1)-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->r\times <!--\; \times \; -->T}\times <!--\; \times \; -->L\times <!--\; \times \; -->N(d_2)}}$

其中：