完满群

✍ dations ◷ 2025-10-21 10:33:40 #代数小作品,群的性质

在数学的群论中，一个群称为完满群（又称完全群，但完全群可以指另一种群），如果这个群等于其换位子群；或者等价地说，如果这个群的阿贝尔商群只有平凡群。

最小的完满群是交错群 $A_{5}$ $A_{5}$ 。一般而言，任何非阿贝尔单群都是完满群。因为一个群的换位子群是正规子群，所以单群的换位子群只能是其自身或平凡子群。而换位子群的对应商群必是阿贝尔群，因此如果一个群是非阿贝尔，其换位子群不能为平凡子群。

不是单群的完满群的例子有特殊线性群SL(2,5)，即是在有限域 $\mathbf {F} _{5}$ $\mathbf {F} _{5}$ 上的所有行列式为1的2×2矩阵所组成的群。

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