实变函数

实分析（英语：real analysis，也称作实变函数论，英语：theory of real variable function）或实数分析是处理实数及实函数的数学分析。专门实数函数及数列的解析特性，包括实数数列的极限，实函数的微分及积分、连续性，光滑性以及其他相关性质。实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上限属性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象（英语：mathematical object）。特别是许多泛函分析及算子理论（英语：operator theory）中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括里斯空间（英语：Riesz space）及正算子（英语：positive operator）的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的逐点评估（英语：strong operator topology）。序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数。例如，一个实数的序列为以下定义的映射 a : N → R ,   n ↦ a n {displaystyle a:mathbb {N} to mathbb {R} , nmapsto a_{n}} ，常会表示为 ( a n ) = ( a n ) n ∈ N = ( a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ ) {displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{nin mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},cdots )} 。若一序列会慢慢的接近一个极限（也就是存在 lim n → ∞ a n {textstyle lim _{nto infty }a_{n}} ），称此序列为收敛，否则则称此序列为发散。极限是指函数或序列在其输入接近一定值时，其输出数值所接近的特定定值。极限是微积分学及广义数学分析的基础，连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。若函数的输入及输出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说，若函数图形是一条连续未分割的曲线，其中没有“洞”或是“断点”，函数即为连续函数。针对上述粗略的定义，在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的，因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续，在以下的定义中是一个定义在实数 R {displaystyle {boldsymbol {R}}} 以内子集的函数，子集I称为函数f的定义域。子集I的一些可能选择包括 I = R {displaystyle I={boldsymbol {R}}} （所有实数）、以下的开区间或闭区间因此 a {displaystyle a} 及 b {displaystyle b} 是实数。一致连续是连续函数中，比连续函数更强的性质。若X和Y是实数子集，函数 f : X → Y {displaystyle f:Xrightarrow Y} 为一致连续的条件是针对所有大于0的实数 ε {displaystyle varepsilon } ，存在一实数 δ > 0 {displaystyle delta >0} ，使得针对所有的 x , y ∈ X , | x − y | < δ {displaystyle x,yin X,leftvert x-yrightvert <delta } 即表示 ⟹ | f ( x ) − f ( y ) | < ε {displaystyle implies leftvert f(x)-f(y)rightvert <varepsilon } 。一致连续和每一点连续的差异在一致连续时， δ {displaystyle delta } 值只和 ε {displaystyle varepsilon } 值有关，和该值在定义域中的位置无关。一般情况下，连续不意味着均匀连续。给定一无穷序列 ( a n ) {displaystyle (a_{n})} ，即可定义相关的级数为 a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ = ∑ n ∈ N a n {textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots =sum _{nin mathbb {N} }a_{n}} ，有时会简称为 ∑ a n {textstyle sum a_{n}} 。级数的部分和 ∑ a n {textstyle sum a_{n}} 为 s n = ∑ j = 1 n a j {textstyle s_{n}=sum _{j=1}^{n}a_{j}} 。级数 ∑ a n {textstyle sum a_{n}} 收敛的条件是部分和的数列 ( s n ) {displaystyle (s_{n})} 收敛，否则级数即称为发散。收敛级数的和 s = ∑ n = 1 ∞ a n {textstyle s=sum _{n=1}^{infty }a_{n}} 定义为 s = lim n → ∞ s n {textstyle s=lim _{nto infty }s_{n}} .等比数列的和就是一个收敛级数，也是芝诺悖论的基础：以下的调和级数即为发散级数：（此处 = ∞ {displaystyle =infty } 不是严谨的表示方式，只是表示部分和会无限制的成长）函数 f {displaystyle f} 在 a {displaystyle a} 位置的导数为以下的函数极限若导数在所有位置都存在，称函数为可微分，可以再继续计算函数的高阶导数。也可以将函数依其微分分类来区分。分类 C 0 {displaystyle C^{0}} 包括所有连续函数，分类 C 1 {displaystyle C^{1}} 包括所有导数连续的可微函数，这类函数称为“连续可微”。分类 C 1 {displaystyle C^{1}} 是指其导数在分类 C 1 {displaystyle C^{1}} 中的函数。一般来说，分类 C k {displaystyle C^{k}} 可以用递归方式定义，定义方式是宣告分类 C 0 {displaystyle C^{0}} 是所有的连续函数，而分类 C k {displaystyle C^{k}} （ k {displaystyle k} 为正整数）是所有可微，而且其导数为 C k − 1 {displaystyle C^{k-1}} 的函数。而分类 C k {displaystyle C^{k}} 包括在分类 C k − 1 {displaystyle C^{k-1}} 中，对所有的正整数 k {displaystyle k} 都成立。分类 C ∞ {displaystyle C^{infty }} 是所有 C k {displaystyle C^{k}} 的交集，其中 k {displaystyle k} 为所有的非负整数。 C ω {displaystyle C^{omega }} 包括所有的解析函数，是分类 C ∞ {displaystyle C^{infty }} 的严格子集。黎曼积分定义函数的黎曼和，对应为一个区间内的标记分区（tagged partitions）。令 [ a , b ] {displaystyle } 为实数下的封闭区间，则在区间 [ a , b ] {displaystyle } 内的标记分区为有限数列将区间 [ a , b ] {displaystyle } 分隔为 n {displaystyle n} 个下标为 i {displaystyle i} 子区间 [ x i − 1 , x i ] {displaystyle } ，每一个用不同的点 t i ∈ [ x i − 1 , x i ] {displaystyle t_{i}in } 来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为则和的每一项都是长方形的面积，其高为函数在给定子区间内，标示点的数值，宽和子区间的宽相等。令 Δ i = x i − x i − 1 {displaystyle Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}} 为子区间 i {displaystyle i} 的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度 m a x i = 1 … n Δ i {displaystyle mathrm {max} _{i=1ldots n}Delta _{i}} 。函数 f {displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {displaystyle } 内的黎曼积分等于 S {displaystyle S} 若：若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。实变函数论是数学分析的一部分，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数，这些也常常用到，不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析，例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。实分析的重要结果包括波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。