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实变函数
✍ dations ◷ 2025-04-03 12:19:47 #实变函数
实分析(英语:real analysis,也称作实变函数论,英语:theory of real variable function)或实数分析是处理实数及实函数的数学分析。专门实数函数及数列的解析特性,包括实数数列的极限,实函数的微分及积分、连续性,光滑性以及其他相关性质。实分析常以基础集合论,函数概念定义等等开始。有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理,将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下,可以证明这些公理都是明确的,也就是说有一个公理的模型,任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义,而大部分的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关,这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是,实数形成有序域,实数的有序满足反对称性、传递性及完全性,属于全序关系,而且实数有最小上限属性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理,例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。在实变分析中这些定理只针对实数,不过许多的结果可以应用在其他的数学对象(英语:mathematical object)。特别是许多泛函分析及算子理论(英语:operator theory)中的概念是来自实数中概念的扩展,这类的扩展包括里斯空间(英语:Riesz space)及正算子(英语:positive operator)的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部,例如算子数列的逐点评估(英语:strong operator topology)。序列是一个定义域为可数全序集合的函数,多半会让定义域是自然数或是所有整数。例如,一个实数的序列为以下定义的映射
a
:
N
→
R
,
n
↦
a
n
{displaystyle a:mathbb {N} to mathbb {R} , nmapsto a_{n}}
,常会表示为
(
a
n
)
=
(
a
n
)
n
∈
N
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
)
{displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{nin mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},cdots )}
。若一序列会慢慢的接近一个极限(也就是存在
lim
n
→
∞
a
n
{textstyle lim _{nto infty }a_{n}}
),称此序列为收敛,否则则称此序列为发散。极限是指函数或序列在其输入接近一定值时,其输出数值所接近的特定定值。极限是微积分学及广义数学分析的基础,连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。若函数的输入及输出值都是实数,可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说,若函数图形是一条连续未分割的曲线,其中没有“洞”或是“断点”,函数即为连续函数。针对上述粗略的定义,在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的,因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续,在以下的定义中是一个定义在实数
R
{displaystyle {boldsymbol {R}}}
以内子集的函数,子集I称为函数f的定义域。子集I的一些可能选择包括
I
=
R
{displaystyle I={boldsymbol {R}}}
(所有实数)、以下的开区间或闭区间因此
a
{displaystyle a}
及
b
{displaystyle b}
是实数。一致连续是连续函数中,比连续函数更强的性质。若X和Y是实数子集,函数
f
:
X
→
Y
{displaystyle f:Xrightarrow Y}
为一致连续的条件是针对所有大于0的实数
ε
{displaystyle varepsilon }
,存在一实数
δ
>
0
{displaystyle delta >0}
,使得针对所有的
x
,
y
∈
X
,
|
x
−
y
|
<
δ
{displaystyle x,yin X,leftvert x-yrightvert <delta }
即表示
⟹
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
<
ε
{displaystyle implies leftvert f(x)-f(y)rightvert <varepsilon }
。一致连续和每一点连续的差异在一致连续时,
δ
{displaystyle delta }
值只和
ε
{displaystyle varepsilon }
值有关,和该值在定义域中的位置无关。一般情况下,连续不意味着均匀连续。给定一无穷序列
(
a
n
)
{displaystyle (a_{n})}
,即可定义相关的级数为
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
=
∑
n
∈
N
a
n
{textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots =sum _{nin mathbb {N} }a_{n}}
,有时会简称为
∑
a
n
{textstyle sum a_{n}}
。级数的部分和
∑
a
n
{textstyle sum a_{n}}
为
s
n
=
∑
j
=
1
n
a
j
{textstyle s_{n}=sum _{j=1}^{n}a_{j}}
。级数
∑
a
n
{textstyle sum a_{n}}
收敛的条件是部分和的数列
(
s
n
)
{displaystyle (s_{n})}
收敛,否则级数即称为发散。收敛级数的和
s
=
∑
n
=
1
∞
a
n
{textstyle s=sum _{n=1}^{infty }a_{n}}
定义为
s
=
lim
n
→
∞
s
n
{textstyle s=lim _{nto infty }s_{n}}
.等比数列的和就是一个收敛级数,也是芝诺悖论的基础:以下的调和级数即为发散级数:(此处
=
∞
{displaystyle =infty }
不是严谨的表示方式,只是表示部分和会无限制的成长)函数
f
{displaystyle f}
在
a
{displaystyle a}
位置的导数为以下的函数极限若导数在所有位置都存在,称函数为可微分,可以再继续计算函数的高阶导数。也可以将函数依其微分分类来区分。分类
C
0
{displaystyle C^{0}}
包括所有连续函数,分类
C
1
{displaystyle C^{1}}
包括所有导数连续的可微函数,这类函数称为“连续可微”。分类
C
1
{displaystyle C^{1}}
是指其导数在分类
C
1
{displaystyle C^{1}}
中的函数。一般来说,分类
C
k
{displaystyle C^{k}}
可以用递归方式定义,定义方式是宣告分类
C
0
{displaystyle C^{0}}
是所有的连续函数,而分类
C
k
{displaystyle C^{k}}
(
k
{displaystyle k}
为正整数)是所有可微,而且其导数为
C
k
−
1
{displaystyle C^{k-1}}
的函数。而分类
C
k
{displaystyle C^{k}}
包括在分类
C
k
−
1
{displaystyle C^{k-1}}
中,对所有的正整数
k
{displaystyle k}
都成立。分类
C
∞
{displaystyle C^{infty }}
是所有
C
k
{displaystyle C^{k}}
的交集,其中
k
{displaystyle k}
为所有的非负整数。
C
ω
{displaystyle C^{omega }}
包括所有的解析函数,是分类
C
∞
{displaystyle C^{infty }}
的严格子集。黎曼积分定义函数的黎曼和,对应为一个区间内的标记分区(tagged partitions)。令
[
a
,
b
]
{displaystyle }
为实数下的封闭区间,则在区间
[
a
,
b
]
{displaystyle }
内的标记分区为有限数列将区间
[
a
,
b
]
{displaystyle }
分隔为
n
{displaystyle n}
个下标为
i
{displaystyle i}
子区间
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{displaystyle }
,每一个用不同的点
t
i
∈
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{displaystyle t_{i}in }
来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为则和的每一项都是长方形的面积,其高为函数在给定子区间内,标示点的数值,宽和子区间的宽相等。令
Δ
i
=
x
i
−
x
i
−
1
{displaystyle Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}
为子区间
i
{displaystyle i}
的宽,则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度
m
a
x
i
=
1
…
n
Δ
i
{displaystyle mathrm {max} _{i=1ldots n}Delta _{i}}
。函数
f
{displaystyle f}
在区间
[
a
,
b
]
{displaystyle }
内的黎曼积分等于
S
{displaystyle S}
若:若选定的标示都是每个区间内函数的最大值(或最小值),黎曼积分就会成为上(或下)达布和,因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。勒贝格积分是一种积分概念,可以将积分延伸到更大范围的函数,同时也拓展函数的定义域。分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分(例如单位阶跃函数)。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。实变函数论是数学分析的一部分,探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数,多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中,很自然的会对全纯函数定义导数,全纯函数有许多有用的性质,包括多次可微、可以用幂级数表示,而且满足柯西积分公式。实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数,这些也常常用到,不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析,例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。实分析的重要结果包括波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、海涅-博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间,包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。
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