欧拉计划

✍ dations ◷ 2024-12-22 19:08:08 #数学教育,计算机科学

欧拉计划(Project Euler)是一个解题网站,站内提供了一系列数学题供用户解答,解题的用户主要是对数学和计算机编程感兴趣的成年人及学生。目前该站包含了677道不同难度的数学题,每一题都可以通过计算机程序在1分钟内求出结果。该网站自2001年起定期增加新的题目,每题都有对应的讨论区,注册用户在正确提交了某题的答案后才能进入该题的讨论区。 站内根据完成题目的数量将用户分为6个级别,设立了6个排行榜,并用正多面体和球体来表示不同的级别。另外还设有一个欧拉人(Eulerians)排行榜。只有最新题目的前20位解答者才可以上榜。

欧拉计划的第一题是:

列举出10以下所有3或5的倍数,我们得到 3, 5, 6 和 9。他们的和是23。

求1000以下所有3或5的倍数之和。

虽然这题比欧拉计划大多数题目要容易的多,我们仍然可以用它来分析不同解题方法的效率。


用穷举法来测试1000以下的所有自然数,再将它们相加就能得到这题的结果。这很容易实现,用以下两种不同的编程语言都能很快求解出答案。

Python:

print(sum(i for i in range(1000) if i%3 == 0 or i%5 == 0))

C++:

#include <iostream>using namespace std;int main( ) {  int sum = 0;  for (int i = 0; i < 1000; i++)    if ( i % 3 == 0 || i % 5 == 0 )      sum += i;  cout << sum << endl;  return 0;}

但如果用容斥原理进行求和,就可以减少1000多次运算。

Python 实现:

def sum1toN(n):   return n * (n + 1) / 2def sumMultiples(limit, a):   return sum1toN((limit - 1) / a) * asumMultiples(1000, 3) + sumMultiples(1000, 5) - sumMultiples(1000, 15)

采用这种方法,计算10,000,000以下或1000以下所花费的时间是相等的。若用大O符号来描述两种方法的优劣,那么穷举算法为O(n)而高效的算法为O(1)。

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