微分

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当某些函数 f {displaystyle textstyle f} 的自变量 x {displaystyle textstyle x} 有一个微小的改变 h {displaystyle textstyle h} 时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量 h {displaystyle textstyle h} ，可以表示成 h {displaystyle textstyle h} 和一个与 h {displaystyle textstyle h} 无关，只与函数 f {displaystyle textstyle f} 及 x {displaystyle textstyle x} 有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在 h {displaystyle textstyle h} 上的值。另一部分是比 h {displaystyle textstyle h} 更高阶的无穷小，也就是说除以 h {displaystyle textstyle h} 后仍然会趋于零。当改变量 h {displaystyle textstyle h} 很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在 x {displaystyle textstyle x} 处的微分，记作 f ′ ( x ) h {displaystyle displaystyle f'(x)h} 或 d f x ( h ) {displaystyle displaystyle {textrm {d}}f_{x}(h)} 。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量 h {displaystyle textstyle h} 映射到变化量的线性部分的线性映射 d f x {displaystyle displaystyle {textrm {d}}f_{x}} 。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。设函数 y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} 在某区间 I {displaystyle {mathcal {I}}} 内有定义。对于 I {displaystyle {mathcal {I}}} 内一点 x 0 {displaystyle x_{0}} ，当 x 0 {displaystyle x_{0}} 变动到附近的 x 0 + Δ x {displaystyle x_{0}+Delta x} （也在此区间内）时，如果函数的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) {displaystyle Delta y=f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})} 可表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) {displaystyle Delta y=ADelta x+o(Delta x)} （其中 A {displaystyle A} 是不依赖于 Δ x {displaystyle Delta x} 的常数），而 o ( Δ x ) {displaystyle o(Delta x)} 是比 Δ x {displaystyle Delta x} 高阶的无穷小，那么称函数 f ( x ) {displaystyle f(x)} 在点 x 0 {displaystyle x_{0}} 是可微的，且 A Δ x {displaystyle ADelta x} 称作函数在点 x 0 {displaystyle x_{0}} 相应于自变量增量 Δ x {displaystyle Delta x} 的微分，记作 d y {displaystyle {textrm {d}}y} ，即 d y = A Δ x {displaystyle {textrm {d}}y=ADelta x} ， d y {displaystyle {textrm {d}}y} 是 Δ y {displaystyle Delta y} 的线性主部。:141通常把自变量 x {displaystyle x} 的增量 Δ x {displaystyle Delta x} 称为自变量的微分，记作 d x {displaystyle {textrm {d}}x} ，即 d x = Δ x {displaystyle {textrm {d}}x=Delta x} 。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念:141。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 d x {displaystyle {textrm {d}}x} ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数 y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} 的微分又可记作 d y = f ′ ( x ) d x {displaystyle {textrm {d}}y=f'(x){textrm {d}}x} 。设 Δ x {displaystyle Delta x} 是曲线 y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} 上的点 P {displaystyle P} 在横坐标上的增量， Δ y {displaystyle Delta y} 是曲线在点 P {displaystyle P} 对应 Δ x {displaystyle Delta x} 在纵坐标上的增量， d y {displaystyle {textrm {d}}y} 是曲线在点 P {displaystyle P} 的切线对应 Δ x {displaystyle Delta x} 在纵坐标上的增量。当 | Δ x | {displaystyle left|Delta xright|} 很小时， | Δ y − d y | {displaystyle left|Delta y-{textrm {d}}yright|} 比 | Δ x | {displaystyle left|Delta xright|} 要小得多(高阶无穷小)，因此在点 P {displaystyle P} 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。设有函数 f : x ↦ x 2 {displaystyle f:xmapsto x^{2}} ，考虑它从某一点 x {displaystyle x} 变到 x + d x {displaystyle x+{textrm {d}}x} 。这时，函数的改变量 f ( x + d x ) − f ( x ) {displaystyle f(x+{textrm {d}}x)-f(x)} 等于：其中的线性主部： A d x = 2 x d x {displaystyle Adx=2xdx} ，高阶无穷小是 o ( d x ) = ( d x ) 2 {displaystyle o({textrm {d}}x)=({textrm {d}}x)^{2}} 。 因此函数 f {displaystyle textstyle f} 在点 x {displaystyle textstyle x} 处的微分是 d y = 2 x d x {displaystyle {textrm {d}}y=2x{textrm {d}}x} 。函数的微分与自变量的微分之商 d y d x = 2 x = f ′ ( x ) {displaystyle {frac {{textrm {d}}y}{{textrm {d}}x}}=2x=f^{prime }(x)} ，等于函数的导数。以下有一例子： 当方程式为 y = 2 x 2 {displaystyle y=2x^{2}} 时，就会有以下的微分过程。和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数 u {displaystyle u} 、 v {displaystyle v} 可微，那么：当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只对单一自变量微分)，但仍然有微分的概念。设 f {displaystyle f} 是从欧几里得空间Rn（或者任意一个内积空间）中的一个开集 Ω {displaystyle Omega } 射到Rm的一个函数。对于 Ω {displaystyle Omega } 中的一点 x {displaystyle x} 及其在 Ω {displaystyle Omega } 中的邻域 Λ {displaystyle Lambda } 中的点 x + h {displaystyle x+h} 。如果存在线性映射 A {displaystyle A} 使得对任意这样的 x + h {displaystyle x+h} ,那么称函数 f {displaystyle f} 在点 x {displaystyle x} 处可微。线性映射 A {displaystyle A} 叫做 f {displaystyle f} 在点 x {displaystyle x} 处的微分，记作 d f x {displaystyle {textrm {d}}f_{x}} 。如果 f {displaystyle f} 在点 x {displaystyle x} 处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。当函数在某个区域的每一点 x {displaystyle x} 都有微分 d f x {displaystyle {textrm {d}}f_{x}} 时，可以考虑将 x {displaystyle x} 映射到 d f x {displaystyle {textrm {d}}f_{x}} 的函数：这个函数一般称为微分函数。具体来说，对于一个改变量： h = ( h 1 , h 2 , … , h n ) = ∑ i = 1 n h i e i {displaystyle h=(h_{1},h_{2},ldots ,h_{n})=sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}} ，微分值：函数 f : ( x , y ) ↦ ( x 2 + y 2 , ( 1 − x 2 − y 2 ) x − y , x − ( 1 − x 2 − y 2 ) y ) {displaystyle f:(x,y)mapsto left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})yright)} 是一个从 R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} 射到 R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} 的函数。它在某一点 ( x , y ) {displaystyle (x,y)} 的雅可比矩阵为：微分为： d f ( x , y ) : h ↦ J f ( x , y ) ( h ) {displaystyle {textrm {d}}f_{(x,y)}:hmapsto J_{f}(x,y)(h)} ，也就是：如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点 x {displaystyle x} 给出一个近似描述函数性质的线性映射 d f x {displaystyle {textrm {d}}f_{x}} ，而微分形式对区域 D {displaystyle mathbf {D} } 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式： ω ( x ) : T D x ⟶ R {displaystyle omega (x):mathbf {TD} _{x}longrightarrow mathbb {R} } 。在坐标记法下，可以写成：其中的 d x i {displaystyle {textrm {d}}x^{i}} 是 i {displaystyle i} -射影算子，也就是说将一个向量 v {displaystyle v} 射到它的第 i {displaystyle i} 个分量 v i {displaystyle v^{i}} 的映射。而 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {displaystyle {textrm {d}}x^{i_{1}}wedge cdots wedge {textrm {d}}x^{i_{k}}} 是满足：的k-形式。特别地，当 f {displaystyle f} 是一个从Rn射到R 的函数时，可以将 d f x {displaystyle {textrm {d}}f_{x}} 写作：正是上面公式的一个特例。