μ算子

μ算子（英语：μ operator）或者极小化算子（minimization operator），无界查找算子（unbounded search operator）在可计算性理论中，被用来查找给定性质下的最小自然数。

R( y, x₁ , . . ., x_k ) 是固定的在自然数上的 元关系。低洼“μy”，在无界和有界形式下，都是从自然数 { 0, 1, 2, . . . } 到自然数的“数论函数”。但是，“μy”包含在谓词被满第三代有界μ算子最早出现在 Kleene（1952年）书中的“第4章原始递归函数，§45 谓词，素因子表示”中：大幅度

Kleene 提示说对变量 y 的值域的 6 个不等式限制中任何一个都是允许的，它们是 y < z, y ≤ z, w < y < z, w < y ≤ z, w ≤ y < z, w ≤ y ≤ z。“当指示的值域不包含 y 使得 R(y) 的时候，“μy”表达式的值是值域的基数”（p. 226）；这是缺省“z”出现在上述定义中的原因。如下面要证明的，有界μ算子“μy_y<z”是凭借两个原始递归函数有限和 Σ 与有限积 Π，“做测试”的一个谓词函数，和转换 { t, f } 到 { 0, 1 } 的表示函数而定义的。

在“第6章一般递归函数”中，Kleene 以如下方式定义了在变量 y 上的无界μ算子，

在这个实例 R 自身内，或它的表示函数，在它被满足的时候得出 0（就是得出）；这个函数接着得出数 y。在 y 上不存在上界，所以在它的定义中不出现不等式。

对于一个给定 R(y) 无界μ算子 μyR(y)（注意不要求“（Ey）”）可以导致全函数或偏函数。Kleene 以不同的方式写这个潜在的偏函数(cf. p. 317):

(i) 在原始递归函数的上下文中，这里的 μ算子的查找变量 y 是有界的，也就是在下面公式中的 y<z，如果谓词 R 是原始递归的（Kleene Proof #E p. 228），则

(ii) 在（全）递归函数的上下文中：这里的查找变量是无界的，但是保证对全递归谓词 R 的参数的所有值 x_i 都存在，

则五个原始递归算子加上无界但完全μ算子给出了 Kleene 所称的“一般”递归函数（就是由六个递归函数定义的全函数）。

(iii) 在偏递归函数的上下文中：假设关系 成立，当且仅当一个偏序递归函数收敛于零。并假设这个偏递归函数收敛（到某个东西不一定为零）只要 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}yR(y,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k)}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}yR(y,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k)}$ 或更小。则函数 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}yR(y,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_k)}$ 也是偏递归函数。

μ算子用在可计算函数作为μ递归函数的特征化中。

有界μ算子可以非常简单的用两个原始递归函数（简写为"prf"）来表达，它们是项的积 Π 与项的和 Σ，还被用来定义 CASE 函数 (cf Kleene #B page 224)。（按照需要，变量的任何界限比如 s≤t 或 t<z 或 5<x<17 等都是适当的）。例如：

我们先要介入叫做谓词 R 的表示函数的一个函数ψ。函数 ψ 定义为从输入（t= "真", f="假"）到输出 ( 0, 1 ) 的映射（注意次序!）。在这种情况下给 ψ 的输入 { t, f } 来自 R 的输出：

Kleene 展示了μy_y<z R(y)的如下定义；我们看到积函数 Π 充当了布尔 AND 算子，而和函数 Σ 充当布尔 OR 算子，不同的是它生成 { Σ≠0, Σ=0 } 而不是 { 1, 0 }:

通过 Kleene 给出例子很容易理解这个等式。他只为指示函数 ψ（R(y)）构建了表格。他用表示函数 χ(y) 简写 ψ( x, y ):

无界μ算子 -- 函数 μy -- 经常定义于教科书中。但是读者可能奇怪于为什么无界μ算子查找生成零而不是某个其他自然数的函数 R(x, y) -- 现代教科书没有给出原因。

使用零的原因是无界算子μy将依据其索引 y 允许随着μ算子的查找而增长的函数"积" Π 来定义。如上述例子提及的，一串数ψ(x, 0) *, . . ., * ψ(x, y)的积 Π _x<y 生成零，只要它的成员 ψ(x, i) 之一为零：

如果任何 ψ(x, i)=0 这里的 0 ≤ i ≤ s。所以 Π 充当了布尔 AND。

函数μy生成作为"输出"的一个单一的自然数 y = { 0, 1, 2, 3 ... }。但是，在算子内可能出现一对“情况”之一：(a) "数论函数" χ 生成一个自然数，或(b) "谓词" 生成 { t= true, f = false }。（在偏递归函数的上下文中 Kleene 后来允许第三种结果："μ = 不可判定", pp. 332ff）。

Kleene 分解他的无界μ算子定义来处理这两种情况 (a) 和 (b)。对于情况 (b)，在谓词 R(x, y) 可以参于积 Π 的算术运算之前，它的输出 { t, f } 必须首先被它的“表示函数”χ运算生成 { 0, 1 }。而对于情况 (a)，如果要使用一个定义，则“数论函数” χ 必须生成零来满足μ算子。通过这个问题的确立，他展示了一个单一的"Proof III"，任何类型 (a) 或 (b) 与五个原始递归函数一起产生（全）递归函数 ... 带有对全函数的限制：

Kleene 的证明是非形式的并使用了类似第一例子的例子。他首先把μ算子强制为运算于生成自然数 n 的χ函数上的“项的积”的不同形式， 这里的 n 可以是任何自然数，而 0 在 u 算子的测试被满足的时候出现。

这是微妙的。在第一眼看来这些等式好像使用了原始递归。但是 Kleene 仍未提供通用形式的基本步骤或归纳步骤：

对于 Kleene 的例子，"...考虑 x_i, ... x_n 的任何固定值并简写 "χ(x_i, ... x_n,y)" 为 "χ(y)":

Minsky (1967) p. 21 和 Boolos-Burgess-Jeffrey (2002) p. 60-61 都提供了μ算子的抽象机定义。

下列示范跟从 Minsky 但不带有其怪癖。这个示范将使用密切关于皮亚诺公理和原始递归函数的"后继"计数器机模型。模型由（i）带有指令的表格和我们重命名为“指令寄存器”（IR）的所谓“状态寄存器”的有限状态自动机，（ii）每个都可以只包含一个单一自然数的一些寄存器，和（iii）在下列表格中描述的四个“命令”的指令集：

给极小化算子μy 的算法在本质上创建函数φ( x, y ) 的一个实例序列，随着参数 y 的值（自然数）增加；这个处理将继续（见下面的注释 †）直到在函数φ( x, y ) 的输出和某个预先确立的数（通常为 0）之间的匹配出现。所以 φ(x, y) 的求值需要在最开始时指派一个自然数到 x 的每个变量，指派一个“匹配数”（通常为 0）到一个寄存器 "w"，一个数（通常为 0）到寄存器 y。

在下面我们假定指令寄存器 (IR) 遇到了在指令号 "n" 的μy“例程”。它的第一个动作将是在专用的 "w" 寄存器确立一个数 -- 函数 φ( x, y ) 在算法可以终止之前必须生成的数的“例子”（典型的是数零，但也可以使用不是零的数）。算法的在 "n+1" 指令的下一个动作将是清除 "y" 寄存器 -- "y" 将充当开始于 0 的“上升寄存器”。接着在 "n+2" 指令算法求值它的函数 φ( x, y ) -- 我们假定将取用 j 指令来完成 -- 在它的求值φ( x, y ) 的结束处放置它的输出在寄存器"φ"中。在 n+j+3rd 指令算法比较在 "w" 寄存器中的数（比如 0）与在 "φ" 寄存器内的数 -- 如果它们是相同的，则算法成功并通过“exit”退出；否则它增加 "y" 寄存器的内容并回到“loop”再次用新的 y 值去测试函数 φ( x, y )。