实闭域

在数学中，实闭域或实封闭域是一类有序域，使得其中每个正元素皆可表为平方，且任何奇数次多项式都有根。以下将给出几种等价的定义。

假设所论之域的特征数皆为零。若在一个域${\displaystyle F}$中，${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$无法写成平方和（表法：${\displaystyle -<!--\; -\; -->1\ne <!--\; \ne \; -->\sum <!--\; \sum \; -->F^2}$），则称${\displaystyle F}$是形式实的。

每个有序域都是形式实域；形式实的定义本身不涉及序结构，但借由实闭包的存在性可证明每个形式实域皆带序结构。

一个实封闭域${\displaystyle F}$若满足下列等价条件，则称之实封闭域：

我们可以纯以代数性质定义实封闭域，并由${\displaystyle a>0\iff <!--\; \iff \; -->a\in <!--\; \in \; -->F^2,a\ne <!--\; \ne \; -->0}$得到唯一的序结构。

对任何形式实域${\displaystyle F}$，都存在代数扩张${\displaystyle R\subset <!--\; \subset \; -->F}$，使得${\displaystyle R}$是实封闭的。我们称${\displaystyle R}$是${\displaystyle F}$的一个实闭包。实闭包并不唯一。

若在${\displaystyle F}$上固定一个序结构，并要求${\displaystyle R}$的序结构与之相容；则此时实闭包${\displaystyle R}$存在并唯一，且${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(R/F)=\{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_R\}}$。

实封闭域的研究首先由数学家展开，随后引起了逻辑学家的兴趣。采用形式语言${\displaystyle \mathcal{L}:=⟨<!--\; ⟨\; -->+,-<!--\; -\; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->,>⟩<!--\; ⟩\; -->}$，设${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}$为实封闭域（带序结构）的${\displaystyle \mathcal{L}}$-一阶理论，塔斯基证明了${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}$上有量词消去；因此任两个${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}$的模型都是初等等价的。一方面，我们可运用${\displaystyle \mathbb{R}}$上的特有工具（微积分、拓扑等等）证明一般实封闭域上的一阶句子；另一方面，则可透过适当的域扩张解决${\displaystyle \mathbb{R}}$上的问题，后一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 对希尔伯特第十七问题的证明。

如果改采形式语言${\displaystyle {\mathcal{L}}^{-<!--\; -\; -->}:=⟨<!--\; ⟨\; -->+,-<!--\; -\; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->}$，并取实封闭域的代数定义${\displaystyle {\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}^{-<!--\; -\; -->}}$，此时则无法消去量词（在${\displaystyle {\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}^{-<!--\; -\; -->}}$中考虑公式${\displaystyle \mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}yy=x^2}$）。

设${\displaystyle R}$是实封闭域，换言之${\displaystyle R{\models <!--\; \models \; -->}_{\mathcal{L}}\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}$，根据${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}$上的量词消去，${\displaystyle R}$上的可定义集只是有限多个线段与孤立点的并集。此性质称作O-极小性，它较量词消去为弱，却是研究${\displaystyle R^n}$上可定义集的几何构造之关键。

量词消去也蕴含${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{F}}$的可判定性，然而塔斯基给出的算法其复杂度过高，并不实用。

若承认广义连续统假设，则可进一步以超积描述实封闭域的性状。