嵌入 (数学)

数学上，嵌入是指一个数学结构经映射包含到另一个结构中。某个物件称为嵌入到另一个物件中，是指有一个保持结构的单射: →，这个映射就给出了一个嵌入。上述“保持结构”的准确意思，需由所讨论的结构而定。一个保持结构的映射，在范畴论中称为态射。

要表达: →是一个嵌入，有时会使用带钩箭号${\displaystyle f:<!--\; :\; -->X\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->Y}$, 之间的一个连续单射: →是一个拓扑嵌入，如果给出与()间的同胚（空间()上的拓扑是由诱导的子空间拓扑。）凡是连续单射的开映射或闭映射都是拓扑嵌入，不过一个嵌入也可能既非开映射也非闭映射：当其像()不是中的开集或闭集时，便发生这种情况。

在微分拓扑中，令, 为光滑流形，而: →为光滑映射。则如果的微分处处皆为单射，则称为一个浸入。此时的嵌入定义为一个符合拓扑嵌入定义的单射浸入，又称为光滑嵌入。换言之，嵌入是微分同胚于其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一个局部嵌入，即在每点${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->M}$是紧致流形，则的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一个重要情形是在为${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$维流形，需多大才保证有从到${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ = 2便足够，而且是最好的上界。例如嵌入一个维的实射影平面便需要 = 2。

如果将光滑嵌入的定义中，为光滑映射的条件放宽为C映射，其中是正整数，而其余条件不变，则称为C嵌入。

在黎曼几何中，设(,), (,)是黎曼流形，一个等距嵌入是一个光滑嵌入: →，令黎曼度量保持不变，即将由拉回等于，就是${\displaystyle g=f^{\ast <!--\; \ast \; -->}(h)}$中任何一点，及任何两个切向量

都有

设, 为度量空间，映射${\displaystyle f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y}$和${\displaystyle f^{-<!--\; -\; -->1}}$()上）都是利普希茨连续，则称为双利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。换言之，如果存在常数${\displaystyle L\ge <!--\; \ge \; -->1}$为(-)双利普希茨嵌入。

一个更广义的嵌入是拟对称嵌入(quasisymmetric embedding)。如前设为拓扑嵌入。称为(-)拟对称嵌入，如果存在同胚${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}:<!--\; :\; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})\to <!--\; \to \; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$(0)=0且为严格递增的连续函数），使得中任何三点, , 若满足

其中 > 0，则有

若是一个-双利普希茨嵌入，可令${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(t)=L^{2}t}$是-拟对称嵌入。

双利普希茨嵌入的一个相关概念是拟等距嵌入。拟等距嵌入虽名为嵌入，却不一定是嵌入，因其未必是单射。

域论上，从一个域到另一个域中的一个嵌入，是一个环同态σ: → 。因为环同态的核是一个理想，而域的理想只有0及整个域本身，又σ(1)=1，故其核不能为整个域，即知核为0。因此这个环同态必定是单态射，而和在中的σ()同构。所以可称两个域之间的任何同态为嵌入。

关于序理论中的嵌入，可参见序嵌入。