协变经典场论

✍ dations ◷ 2025-10-20 17:47:09 #微分几何,微分方程,纤维丛,分析力学,拉格朗日力学,场论

近年来,协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令 Γ ¯ ( π ) {\displaystyle {\bar {\Gamma }}(\pi )} 表示有紧支撑的 π {\displaystyle \pi \,} 的截面。

一个经典场论数学上可以如下表述

1 {\displaystyle \star 1\,} 代表 M {\displaystyle M\,} 上的体积形式,则 Λ = L 1 {\displaystyle \Lambda =L\star 1\,} ,其中 L : J 1 π R {\displaystyle L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb {R} } 是拉格朗日量函数。我们在 J 1 π {\displaystyle J^{1}\pi \,} 上选择纤维化坐标 { x i , u α , u i α } {\displaystyle \{x^{i},u^{\alpha },u_{i}^{\alpha }\}\,} ,使得

作用量积分定义为

其中 σ Γ ¯ ( π ) {\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )} ,并定义于开集 σ ( M ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}})\,} ,而 j 1 σ {\displaystyle j^{1}\sigma \,} 代表其第一射流延长(jet prolongation)。

截面 σ Γ ¯ ( π ) {\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,} 的变分由曲线 σ t = η t σ {\displaystyle \sigma _{t}=\eta _{t}\circ \sigma \,} 给出,其中 η t {\displaystyle \eta _{t}\,} 是一个 E {\displaystyle {\mathcal {E}}\,} 上的 π {\displaystyle \pi \,} -竖直向量场 V {\displaystyle V\,} 的流,它在 M {\displaystyle {\mathcal {M}}\,} 上有紧支撑。截面 σ Γ ¯ ( π ) {\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,} 称为变分的驻点,如果

这等价于

其中 V 1 {\displaystyle V^{1}\,} 代表 V {\displaystyle V\,} 的第一延长,按李导数的定义。使用嘉当公式, L X = i X d + d i X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}\,} , 斯托克斯定理以及 σ {\displaystyle \sigma \,} 的紧支撑,可以证明这等价于

考虑一个 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} π {\displaystyle \pi \,} -竖直向量场

其中 β α = β α ( x , u ) {\displaystyle \beta ^{\alpha }=\beta ^{\alpha }(x,u)\,} 。采用切触形式 θ j = d u j u i j d x i {\displaystyle \theta ^{j}=du^{j}-u_{i}^{j}dx^{i}\,} on J 1 π {\displaystyle J^{1}\pi \,} ,我们可以计算 V {\displaystyle V\,} 的第一延长。然后得到

其中 γ i α = γ i α ( x , u α , u i α ) {\displaystyle \gamma _{i}^{\alpha }=\gamma _{i}^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_{i}^{\alpha })\,} 。据此,可以证明

因而

分部积分并考虑 σ {\displaystyle \sigma \,} 的紧支撑,临界条件变为

因为 β α {\displaystyle \beta ^{\alpha }\,} 为任意函数,我们得到

这些就是欧拉-拉格朗日方程组。

相关

  • 石勒苏益格-荷尔斯泰因瓦登海国家公园石勒苏益格-荷尔斯泰因瓦登海国家公园(德语:Nationalpark Schleswig-Holsteinisches Wattenmeer)是德国的国家公园,始建于1985年10月1日,面积4,410平方公里,该国家公园在2009年6月
  • 1819年1819年逝世人物列表:1月 - 2月 - 3月 - 4月 - 5月 - 6月 - 7月 - 8月 - 9月 - 10月 - 11月 - 12月
  • 犯罪行为客体 · 行为(作为 · 不作为) 危害结果 · 因果关系 · 犯罪主体 主观要件(故意 · 过失) 未遂 · 既遂 · 中止 · 预备阻却违法事由 正当防卫 · 紧急避难心神丧失
  • The Hollywood Reporter《好莱坞报道》(英语:The Hollywood Reporter,简称为《THR》,又译为好莱坞报道者)是一本美国数码及实体印刷的杂志及网站,重点关注好莱坞电影、电视节目及娱乐界。它由威廉·威尔
  • 绿雉绿雉(学名:Phasianus versicolor)是一种栖息在日本列岛低地的鸡形目雉科鸟类。为日本特有种,既是该国国鸟,也是当地很多自治体的“市、町、村鸟”。一些鸟类分类学者把绿雉列为环
  • 球缺球缺是指球体被平面截去的一部分。截面称为球缺的底面,垂直于截面的直径被此截面截得的线段长称为球缺的高。球缺的表面积: 2 π ×
  • 露·安德烈亚斯·莎乐美露·安德烈亚斯·莎乐美(Lou Andreas-Salomé,本名Louise von Salomé或Luíza Gustavovna Salomé,俄语:Луиза Густавовна Саломе,1861年2月12日-1937年2月
  • 陈所闻《松江邦彦图》之陈所闻像陈所闻(1587年-1626年),字无声,号绣林,直隶华亭(今上海市松江区)人,明朝政治人物,进士出身。抗清烈士陈子龙之父。万历四十七年(1619年)登己未科进士。官至工部
  • 约书亚约书亚(英文:Joshua/Jehoshua,希伯来文:יְהוֹשֻׁעַ),天主教称若苏厄,是《旧约圣经》记载的一位希伯来人领袖,是嫩的儿子;属以法莲支派,原名何希阿。据《圣经·申命记》所载,
  • 耿姓耿姓为中文姓氏之一,在《百家姓》中排第350位。“耿”姓源出有三:1、以封地、国、邑为姓《元和姓纂》载,商时侯国有耿,位于今天的山西省龙门县南,后为晋所灭,以国为氏。 《姓氏考