协变经典场论

近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$表示有紧支撑的${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$的截面。

一个经典场论数学上可以如下表述

令${\displaystyle \star <!--\; \star \; -->1}$代表${\displaystyle M}$上的体积形式，则${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=L\star <!--\; \star \; -->1}$，其中${\displaystyle L:J^1\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$是拉格朗日量函数。我们在 ${\displaystyle J^1\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$上选择纤维化坐标${\displaystyle \{x^i,u^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},u_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}}$，使得

作用量积分定义为

其中${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$，并定义于开集${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathcal{M})}$，而${\displaystyle j^1\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$代表其第一射流延长(jet prolongation)。

截面${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$的变分由曲线${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_t\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$给出，其中${\displaystyle {\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_t}$是一个${\displaystyle \mathcal{E}}$上的${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$-竖直向量场${\displaystyle V}$的流，它在${\displaystyle \mathcal{M}}$上有紧支撑。截面${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$称为变分的驻点，如果

这等价于

其中${\displaystyle V^1}$代表${\displaystyle V}$的第一延长，按李导数的定义。使用嘉当公式，${\displaystyle {\mathcal{L}}_X=i_{X}d+d{i}_X}$， 斯托克斯定理以及${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$的紧支撑，可以证明这等价于

考虑一个${\displaystyle \mathcal{E}}$的${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$-竖直向量场

其中${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x,u)}$。采用切触形式 ${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^j=d{u}^j-<!--\; -\; -->u_i^{j}d{x}^i}$ on ${\displaystyle J^1\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$，我们可以计算${\displaystyle V}$的第一延长。然后得到

其中${\displaystyle {\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x,u^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},u_i^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})}$。据此，可以证明

因而

分部积分并考虑${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$的紧支撑，临界条件变为

因为${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$为任意函数，我们得到

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。