重言1形式

在数学中，重言 1-形式（Tautological one-form）是流形 的余切丛 ${\displaystyle T^{\ast <!--\; \ast \; -->}Q}$ 是 上一点，然而因为 是余切丛，我们可将 理解为切空间上一个函数，在 ${\displaystyle q=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(m)}$ 是在 点的纤维中。重言 1-形式 ${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_m}$ 定义为

这是一个线性函数

所以

是流形 ${\displaystyle M=T^{\ast <!--\; \ast \; -->}Q}$ 上任意一个 1-形式，而 ${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 是余切丛上一个哈密顿向量场，而 ${\displaystyle X_H}$ 为

用普通的方式表述，哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线，所以我们用作用量-角度坐标传统记法：

这里积分理解为在流形上的维持能量 ${\displaystyle E}$ 有一个黎曼或者伪黎曼度量 ，那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地，如果我们取度量为映射

这样便定义了

和

在 上的广义坐标中 ${\displaystyle (q^1,\dots <!--\; \dots \; -->,q^n,{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}^1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}^n)}$ ，我们有

以及

度量使我们可定义 ${\displaystyle T^{\ast <!--\; \ast \; -->}Q}$ 上的一个单位半径球面（丛）。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构；这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流。