黎曼流形

✍ dations ◷ 2025-09-11 10:30:32 #黎曼几何,微分几何,流形上的结构

黎曼流形(Riemannian manifold)是一个微分流形,其中每点的切空间都定义了点积,而且其数值随平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。

每个R的平滑子流形可以导出黎曼度量:把R的点积都限制于切空间内。实际上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以黎曼流形为和R的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间:

如果γ : → 是黎曼流形中一段连续可微分的弧线,我们可以定义它的长度(γ)为

(注意:γ'()是切空间在γ()点的元素;||·||是切空间的内积所得出的范数。)

使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形很自然的成为一个度量空间(甚至是长度度量空间):在与两点之间的距离(, )定义为:

虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直线”的概念依然存在:那就是测地线。

在黎曼流形中,测地线完备的概念,和拓扑完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容。

相关

  • 数列数列(英语:number sequence)是由数字组成的序列,也即是全序排列的多个数。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究。数列也是级数理论的基本概念。数列是一列两个以上按顺序
  • 一级方程式一级方程式赛车(英语:Formula One,也叫Formula 1或者F1)是由国际汽车联盟举办的最高等级的赛车比赛。F1的正式名称为“国际汽车联合会世界一级方程式锦标赛”。名称中“方程式”
  • 酮基酮是一类有机化合物,通式RC(=O)R',其中R和R'可以是相同或不同的原子或官能团。酮的结构特征是具有一个与两个碳原子相连接的羰基(C=O)。最简单的酮是丙酮。酮是唯一一类羰基碳直
  • 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理(英语:Huygens–Fresnel principle)是研究波传播问题的一种分析方法,因荷兰物理学者克里斯蒂安·惠更斯和法国物理学者奥古斯丁·菲涅耳而命名。这个原理同时适
  • 威尔士民族党威尔士党(Plaid Cymru – the Party of Wales,“Plaid Cymru”是威尔士语,“the Party of Wales”是英语,意思都是“威尔士党”),是英国威尔士的一个地方政党。现在以在欧盟中建立
  • 米歇尔·德·蒙田米歇尔·德·蒙田(法语:Michel de Montaigne,姓又译蒙泰涅;1533年2月28日-1592年9月13日)是法国在北方文艺复兴时期最有标志性的哲学家,以《随笔集》()三卷留名后世。《随笔集》在西
  • 约翰·E·沃克约翰·欧内斯特·沃克爵士 FRS(英语:Sir John Ernest Walker,1941年1月7日-),英国化学家,1997年诺贝尔化学奖获得者,于2012年获得科普利奖章。从1969年到1971年,沃克在威斯康星大学麦
  • 1-萘胺1-萘胺是一种芳香胺。 白色针状结晶,具有难闻的气味;微溶于水,易溶于乙醇、乙醚。1-萘胺可通过还原1-硝基萘制得。以铁和盐酸做催化剂,在70 °C下还原1-硝基萘,产物经过石灰乳中
  • 里奥马焦雷城堡里奥马焦雷城堡(意大利语:Castello di Riomaggiore)是意大利拉斯佩齐亚省五渔村地区里奥马焦雷的一座历史建筑。最初用于防御目的,后来曾改为公墓,现在由当地市政当局用作会议室
  • 中国海洋大学出版社中国海洋大学出版社是中华人民共和国的一家出版社,成立于1989年6月,社址位于山东省青岛市,由中华人民共和国教育部主管、中国海洋大学主办。