黎曼流形

✍ dations ◷ 2025-07-26 14:58:54 #黎曼几何,微分几何,流形上的结构

黎曼流形(Riemannian manifold)是一个微分流形,其中每点的切空间都定义了点积,而且其数值随平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。

每个R的平滑子流形可以导出黎曼度量:把R的点积都限制于切空间内。实际上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以黎曼流形为和R的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间:

如果γ : → 是黎曼流形中一段连续可微分的弧线,我们可以定义它的长度(γ)为

(注意:γ'()是切空间在γ()点的元素;||·||是切空间的内积所得出的范数。)

使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形很自然的成为一个度量空间(甚至是长度度量空间):在与两点之间的距离(, )定义为:

虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直线”的概念依然存在:那就是测地线。

在黎曼流形中,测地线完备的概念,和拓扑完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容。

相关

  • 神学神学(古希腊语:Θεολογια,拉丁语:theologia,英语:Theology)一词,广泛指称所有对神(上帝)这个主题展开的研究或学说。神学一词的希腊文Θεολογια是由Θεος(即“神”)和
  • 释智
  • 李绅李绅(772年-846年),字公垂,唐亳州(今属安徽)人,生于乌程(今浙江湖州),长于润州无锡(今属江苏)。唐朝大臣,曾参与牛李党争。亦为诗人,文学上,参与新乐府运动。李绅生于唐大历七年(772年),曾祖父
  • 斯瓦西里语斯瓦希里语(kiswahili),属于班图语族,是非洲语言使用人数最多的语言之一(5500万多人),和阿拉伯语及豪萨语并列非洲三大语言。斯瓦希里语是坦桑尼亚、肯尼亚、乌干达的官方语言,刚果
  • 阿尔利特阿尔利特是尼日尔中北部的工业小镇,由阿加德兹大区负责管辖,距离邻国阿尔及利亚200公里,2001年2001年人口69,435。1969年在阿尔利特发现铀矿,在1980年代出产世界上40%的铀,2001年
  • 香蒲属香蒲属是一个小属,只有11种,分布在全球除南非以外的几乎所有地区,但大部分种类生长在北半球,主要生长在湿地环境中。香蒲属植物一般能生长到1-7米高,但有的品种如小香蒲(T. minima
  • 德拉吉沙·比尼奇德拉吉萨·比尼奇(1961年10月20日-),前塞尔维亚职业足球员,南斯拉夫国家足球队成员。从1990年到1991年,他共为南斯拉夫国家足球队出场3次,打进1球。
  • 东势车站东势车站是一座位于台湾台中市东势区台湾铁路管理局东势线的终端铁路车站,今已改建为“东势客家文化园区”。
  • 拉莫斯拉莫斯(Ramos)是一个常见于西班牙语和葡萄牙语人名中的姓氏。以此为姓的名人有:
  • 阴宅2《阴宅2》(英语:)是一部2017年美国超自然(英语:Supernatural fiction)恐怖片,由法兰克·卡方执导并与Daniel Farrands、Casey La Scala共同担任编剧。电影为“鬼哭神嚎系列电影(英语