藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一种用来描述同步的数学模型，由日本物理学家藏本由纪（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具体说来，它描述了大量耦合振子的同步行为。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如神经振荡，以及振荡火焰的动力学。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合约瑟夫森结的阵列。

这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。

在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的自然频率${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i}$，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在${\displaystyle N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全非线性的模型是可以精确求解的。

这个模型最常见的形式由以下方程组给出：

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+\frac{K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i),i=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,N}$

系统由${\displaystyle N}$个极限环振子组成，${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}$是第${\displaystyle i}$个振子的相位，${\displaystyle K}$是耦合强度。

也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+\frac{K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)+{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i,i=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,N}$

其中${\displaystyle {\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i}$是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则：

${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=0,}$

${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i(t){\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_j(t^{\prime })⟩<!--\; ⟩\; -->=2D{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })}$

其中${\displaystyle D}$代表噪声强度。

使得这个模型（至少在${\displaystyle N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$的极限下）能够精确求解的变换如下所示：

定义“序”参量

${\displaystyle R{e}^{i\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{i{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j}}$

${\displaystyle R}$表征了这群振子的相位相关性，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是平均相位。方程两边乘以${\displaystyle e^{-<!--\; -\; -->\text{i}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}}$，只考虑虚部得到：

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+KR\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0}$）。最终，方程变为：

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i-<!--\; -\; -->KR\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}$

考虑${\displaystyle N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$的情况。自然频率的分布记为${\displaystyle g(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$（假设已经归一化）。设在时刻${\displaystyle t}$，在所有自然频率为${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$的振子中，相位为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$的振子所占比例为${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},t)}$。归一化要求

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},t)d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1}$

振子密度的连续性方程为

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}v)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=0}$

其中${\displaystyle v=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+KR\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$是振子的漂移速度。

最终，在连续统极限下重新写出序参量。${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}$应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到

${\displaystyle R{e}^{i\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}={\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},t)g(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$

所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$。这种情况${\displaystyle R=0}$，振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。

当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子

${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{KR}\right)}$

对漂移的振子，

${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\propto <!--\; \propto \; -->\frac{1}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->KR\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}}$

耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统中，哈密顿量具有形式：

${\displaystyle \mathcal{H}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i(q_i^2+p_i^2)+\frac{K}{4N}\underset{i,j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(q_i{p}_j-<!--\; -\; -->q_j{p}_i)(q_j^2+p_j^2-<!--\; -\; -->q_i^2-<!--\; -\; -->p_i^2)}$

用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为${\displaystyle I_i=\frac{1}{2}(q_i^2+p_i^2)}$，角度（相位）${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i=\arctan <!--\; \; -->\frac{q_i}{p_i}}$，在作用量${\displaystyle I_i\equiv <!--\; \equiv \; -->I}$为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量

${\displaystyle \mathcal{H}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i{I}_i-<!--\; -\; -->\frac{K}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt{I_j{I}_i}(I_j-<!--\; -\; -->I_i)\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

哈密顿运动方程为

${\displaystyle \frac{d{I}_i}{dt}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}=-<!--\; -\; -->\frac{2K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt{I_j{I}_i}(I_j-<!--\; -\; -->I_i)\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_i}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+\frac{K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt{I_j/I_i}(I_i+I_j)\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

因为${\displaystyle \frac{d{I}_i}{dt}=0}$，所以${\displaystyle I_i=I}$确定的流形是不变的，并且相位动力学${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}}$就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括玻色-爱因斯坦凝聚。

模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。

除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。

藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即

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