藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一种用来描述同步的数学模型，由日本物理学家藏本由纪（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具体说来，它描述了大量耦合振子的同步行为。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如神经振荡，以及振荡火焰的动力学。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合约瑟夫森结的阵列。

这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。

在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的自然频率${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i}$，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在${\displaystyle N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全非线性的模型是可以精确求解的。

这个模型最常见的形式由以下方程组给出：

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+\frac{K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i),i=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,N}$

系统由${\displaystyle N}$个极限环振子组成，${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}$是第${\displaystyle i}$个振子的相位，${\displaystyle K}$是耦合强度。

也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+\frac{K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)+{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i,i=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,N}$

其中${\displaystyle {\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i}$是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则：

${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=0,}$

${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_i(t){\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_j(t^{\prime })⟩<!--\; ⟩\; -->=2D{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })}$

其中${\displaystyle D}$代表噪声强度。

使得这个模型（至少在${\displaystyle N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$的极限下）能够精确求解的变换如下所示：

定义“序”参量

${\displaystyle R{e}^{i\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}=\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{i{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j}}$

${\displaystyle R}$表征了这群振子的相位相关性，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是平均相位。方程两边乘以${\displaystyle e^{-<!--\; -\; -->\text{i}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}}$，只考虑虚部得到：

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+KR\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0}$）。最终，方程变为：

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i-<!--\; -\; -->KR\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}$

考虑${\displaystyle N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$的情况。自然频率的分布记为${\displaystyle g(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$（假设已经归一化）。设在时刻${\displaystyle t}$，在所有自然频率为${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$的振子中，相位为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$的振子所占比例为${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},t)}$。归一化要求

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},t)d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1}$

振子密度的连续性方程为

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}v)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=0}$

其中${\displaystyle v=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+KR\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$是振子的漂移速度。

最终，在连续统极限下重新写出序参量。${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}$应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到

${\displaystyle R{e}^{i\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}={\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},t)g(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$

所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$。这种情况${\displaystyle R=0}$，振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。

当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子

${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{KR}\right)}$

对漂移的振子，

${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\propto <!--\; \propto \; -->\frac{1}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->KR\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}}$

耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统中，哈密顿量具有形式：

${\displaystyle \mathcal{H}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i(q_i^2+p_i^2)+\frac{K}{4N}\underset{i,j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(q_i{p}_j-<!--\; -\; -->q_j{p}_i)(q_j^2+p_j^2-<!--\; -\; -->q_i^2-<!--\; -\; -->p_i^2)}$

用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为${\displaystyle I_i=\frac{1}{2}(q_i^2+p_i^2)}$，角度（相位）${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i=\arctan <!--\; \; -->\frac{q_i}{p_i}}$，在作用量${\displaystyle I_i\equiv <!--\; \equiv \; -->I}$为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量

${\displaystyle \mathcal{H}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i{I}_i-<!--\; -\; -->\frac{K}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt{I_j{I}_i}(I_j-<!--\; -\; -->I_i)\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

哈密顿运动方程为

${\displaystyle \frac{d{I}_i}{dt}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}=-<!--\; -\; -->\frac{2K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt{I_j{I}_i}(I_j-<!--\; -\; -->I_i)\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_i}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i+\frac{K}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt{I_j/I_i}(I_i+I_j)\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$

因为${\displaystyle \frac{d{I}_i}{dt}=0}$，所以${\displaystyle I_i=I}$确定的流形是不变的，并且相位动力学${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i}{dt}}$就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括玻色-爱因斯坦凝聚。

模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。

除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。

藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即

相关

• 比率在中文里，比率这个词被用来代表两个数量的比值，这包括了两个相似却在用法上有所区分的概念：一个是比（ratio）的值；另一是变化率（rate of change，或简称rate），是一个数量相对于另一数量
• 纳拉扬希蒂王宫坐标：27°42′56″N 85°19′12″E / 27.71556°N 85.32000°E / 27.71556; 85.32000纳拉扬希蒂王宫（尼泊尔语：नारायणहिटी दरवार संग्रहालय）位于尼泊尔
• font color=black司法与内政合作/font欧盟三支柱刑事领域警务与司法合作（Police and Judicial Co-operation in Criminal Matters,缩写为PJCC）是欧盟三支柱中的第三支柱。在2003年之前，它被称为司法与内政合作（Justi
• Big Hit EntertainmentBig Hit Entertainment（韩语：빅히트엔터테인먼트）是一间韩国经纪娱乐公司。2005年由韩国知名音乐制作人兼作曲家Hitman Bang（本名：房时爀）于韩国创办，主要从事音乐制作、专辑发行、
• 退休基金会退休基金会（葡文：Fundo de Pensões，葡文缩写：FP）是澳门特别行政区的政府部门，负责管理和执行澳门特别行政区公务人员的退休及抚恤制度和公积金制度。退休基金会于1987年成立，由行
• 电脑科学计算机科学（英语：computer science，有时缩写为CS）是系统性研究信息与计算的理论基础以及它们在计算机系统中如何实现（英语：implementation）与应用的实用技术的学科。 它通常被形容
• 无敌神猫《无敌神猫》（英文：Top Cat），是一套由1961年9月至1962年4月间，于美国ABC播放的动画。由汉纳-巴伯拉制片公司所创作。
• 三山五园三山五园是指北京西北部的皇家园林群的统称。这些园林兴建于清康熙时期，兴盛于乾隆时期，大多在1860年第二次鸦片战争中被焚毁。有关三山五园的具体所指，目前比较通行的说法是，三
• 牛肉香精牛肉香精，是一种食品添加剂，加入后的猪肉会在香味上接近牛肉。但是由于市面上牛肉价格高于猪肉，其往往会常被滥用谋取暴利。而中国市场上的一些牛肉香精（被大陆媒体称为“牛肉膏
• 韦继松韦继松（1933年－），男，壮族，广西宜山人，中华人民共和国政治人物，曾任广西壮族自治区人民政府副主席，广西壮族自治区人大常委会副主任，第七、八、九届全国人大代表。