朗兰兹纲领

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:10:51 #数论,表示论,李群表示论,代数数论,自守形式,猜想,数学课题

朗兰兹纲领(Langlands program)是数学中一系列影响深远的构想,联系数论、代数几何与约化群表示理论;纲领最初由罗伯特·朗兰兹于1967年在一封给韦伊的信件中提出。 朗兰兹纲领被广泛视为现代数学研究中最大的单项项目,被爱德华·弗伦克尔(英语:Edward Frenkel)描述为“数学的一种大统一理论”。

我们可以二次互反律之推广阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点: 给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域,阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数,并断言:此等L-函数俱等于某些 狄利克雷L函数(黎曼ζ函数的类推,由狄利克雷特征表达)。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。

若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示,我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。

朗兰兹洞察到:当找到适当的狄利克雷L-函数的推广,便有可能推广阿廷互反律。

赫克()曾联系全纯自守形式(定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数)与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论,以应用于自守尖点表示(自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群 GL 的某类无限维不可约表示)。

朗兰兹为这些配上,然后猜想:

若要建立一一对应,须考虑较伽罗瓦群的适当扩张,称作韦依-德利涅群。在可交换的例子,这相当于将狄利克雷特征推广为赫克特征(德文旧称 )。互反猜想蕴含阿廷猜想。

朗兰兹再进一步推广:

朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则(Functoriality Principle):

函子性猜想蕴含广义拉马努金猜想。

函子性构想本质上是一种诱导表示构造(在传统的自守形式理论中称为提升,在某些特殊情况下已知),因而是协变的(相反地,受限表示构造是逆变的)。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。

上述各猜想亦有其他域上的版本:数域(最早期的版本)、局部域及函数域(即F()的有限扩张; 其中 是一 素数 , F() 是 元有限域上的有理函数域)。局部域的与数域的朗兰兹纲领满足一些相容性,二者之方法亦互为用。

朗兰兹纲领建基于当时已存在的念头:盖尔范德之前几年写的 《尖点形式之启示》();哈瑞希·昌得拉()研究 半单李群 的结果和方法;而技术上则有塞尔伯格等的塞尔伯格迹公式。

朗兰兹的创见,除技术之深以外,在于他提出上述理论与数论的直接联系,以及其构想中丰富的总体结构(即所谓函子性者也)。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中,我们可见以下原则:

故一旦认清一些低维李群 —如 GL2 —在模形式理论之角色,并反观 GL1 在类域论之角色,我们至少可推测一般 GL 的情况。

之念头来自模曲线上的尖点,在谱理论上对应于离散谱;对比之下连续谱则来自艾森斯坦级数。但当给定的李群越大,则抛物子群越多,技术上则越复杂。

在此等研究途径中不乏各种技巧——通常基于列维分解等事实、具诱导表示的性质 ——但这领域一直都很困难。

在模形式方面,亦有例如希尔伯特模形式、 西格尔模形式 和 theta-级数等等面向。

内窥(英语:)意谓“在一般共轭中窥见稳定共轭”;共轭意谓群的共轭作用 x g x g 1 {\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}} ;稳定共轭则意谓可取 g G ( F ¯ ) {\displaystyle g\in G({\bar {F}})} ;稳定共轭类可分解为有限个一般共轭类。稳定共轭与一般共轭之别造成上述的L-不可辨性。

亚瑟-塞尔伯格迹公式是处理函子性猜想及志村簇的哈瑟-韦伊ζ函数之利器。在技术上,我们需要一稳定迹公式,稳定化有赖于将 G {\displaystyle G} 之一般轨道积分表成内窥群上的稳定轨道积分。内窥理论旨在配对群及其内窥群的轨道积分,称作内窥传递;其关键则是所谓的基本引理。

内窥传递不仅是工具,也涵摄函子性猜想的一些特例。

数域上的朗兰兹纲领可以翻译到几何的框架,大略步骤如下:

2006年,爱德华·威滕和 Anton Kapustin 建议:

部分朗兰兹纲领的项目已经完成。

洛朗·拉福格凭其在函数域上的工作获得2002年菲尔兹奖。拉福格的工作延续了较早期的德林费尔德得菲尔兹奖(1990)的研究。数域方面只有一些特例被证明了,有些是朗兰兹自己完成的。

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