有序对

在数学中，有序对是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”（第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影）。带有第一个元素a和第二个元素b的有序对通常写为(a, b)。符号(a, b)也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号 ⟨ a , b ⟩ {displaystyle langle a,brangle } 。设(a1, b1)和(a2, b2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为：有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组（n项的列表）。例如，有序三元组 (a,b,c)可以定义为(a, (b,c))，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义：他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透过集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）在公理化集合论中，有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对：陈述“x是有序对p的第一个元素”可以公式化为而陈述“x是p的第二个元素”为注意这个定义对于有序对p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的；在这种情况下陈述(∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2))显然是真的，因为不会有Y1 ≠ Y2的情况。上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果(a,b)=(x,y)则a=x且b=y）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义“逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一个缺点，它的特征性质的证明会比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，这将意味着2是对 (0,0)short。Kuratowski对： 证明：(a,b)K = (c,d)K当且仅当a=c且b=d。仅当：当：逆对： (a,b)reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)K。Rosser（1953年）扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设 N {displaystyle mathbb {N} } 是自然数的集合， x ∖ N {displaystyle xsetminus mathbb {N} } 是 N {displaystyle mathbb {N} } 在 x {displaystyle x} 内的相对差集，并定义：φ(x)包含在x中所有自然数的后继，和x中的所有非数成员。特别是，φ(x)不包含数0，所以对于任何集合A和B， ϕ ( A ) ≠ { 0 } ∪ ϕ ( B ) {displaystyle phi (A)not ={0}cup phi (B)} 。以下是有序对 (A,B)的定义：提取这个对中那些不包含0的所有元素，然后再还原 φ {displaystyle varphi } 的作用，就得出了A。类似的，B可以通过提取这个对的包含0的所有元素来复原。有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一个函数（定义为有序对的集合），有只比序对的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那样，定义投影为集合的有序对。接着，他重定义对 (x,y)为这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对组成的集合并且这便允许了定义以真类为投影的有序对。