首页 >
有序对
✍ dations ◷ 2025-01-23 03:11:27 #有序对
在数学中,有序对是两个对象的搜集,使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”(第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影)。带有第一个元素a和第二个元素b的有序对通常写为(a, b)。符号(a, b)也表示在实数轴上的开区间;在有歧义的场合可使用符号
⟨
a
,
b
⟩
{displaystyle langle a,brangle }
。设(a1, b1)和(a2, b2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为:有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组(n项的列表)。例如,有序三元组 (a,b,c)可以定义为(a, (b,c)),一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中,就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如,列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义:他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透过集合便能表达。(在《数学原理》中,所有元数的关系都是原始概念。)在公理化集合论中,有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对:陈述“x是有序对p的第一个元素”可以公式化为而陈述“x是p的第二个元素”为注意这个定义对于有序对p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的;在这种情况下陈述(∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2))显然是真的,因为不会有Y1 ≠ Y2的情况。上述有序对的定义是“充足”的,在它满足有序对必须有的特征性质(也就是:如果(a,b)=(x,y)则a=x且b=y)的意义上,但也是任意性的,因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义“逆”(reverse)对基本不使用,因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点(或缺点)。“短”(short)对有一个缺点,它的特征性质的证明会比Kuratowski对的证明更加复杂(要使用正规公理);此外,因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} },这将意味着2是对 (0,0)short。Kuratowski对:
证明:(a,b)K = (c,d)K当且仅当a=c且b=d。仅当:当:逆对:
(a,b)reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)K。Rosser(1953年)扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设
N
{displaystyle mathbb {N} }
是自然数的集合,
x
∖
N
{displaystyle xsetminus mathbb {N} }
是
N
{displaystyle mathbb {N} }
在
x
{displaystyle x}
内的相对差集,并定义:φ(x)包含在x中所有自然数的后继,和x中的所有非数成员。特别是,φ(x)不包含数0,所以对于任何集合A和B,
ϕ
(
A
)
≠
{
0
}
∪
ϕ
(
B
)
{displaystyle phi (A)not ={0}cup phi (B)}
。以下是有序对 (A,B)的定义:提取这个对中那些不包含0的所有元素,然后再还原
φ
{displaystyle varphi }
的作用,就得出了A。类似的,B可以通过提取这个对的包含0的所有元素来复原。有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中,这个对与它的投影有相同的类型(所以术语叫做“类型齐平”有序对)。因此一个函数(定义为有序对的集合),有只比序对的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。Morse(1965年)提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法,使得它的投影可以是真类或者集合。(Kuratowski定义不允许这样)。它首先像Kuratowski的方式那样,定义投影为集合的有序对。接着,他重定义对 (x,y)为这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对组成的集合并且这便允许了定义以真类为投影的有序对。
相关
- 胰腺炎胰脏炎(英语:Pancreatitis)也称为胰腺炎,指的是胰脏的发炎。胰脏是身体里的一个大型器官,位置在胃后方,功能有分泌消化酵素等等。 胰脏炎有两种,分别是急性(英语:Acute_pancreatitis)
- Index FungorumIndex Fungorum是一个免费的真菌学线上数据库,由英国伦敦的基尤皇家植物园(英语:Royal Botanic Gardens, Kew)、新西兰的土地保护研究所(英语:Landcare Research)与中国科学院微生
- 单核因子单核因子(英语:monokine)是指一大类主要由单核细胞和巨噬细胞产生的细胞因子。常见的单核因子有:从巨噬细胞释放的单核因子可以通过趋化作用募集中性粒细胞。
- 酸性磷酸酶酸性磷酸酶(英语:Acid phosphatase,EC 3.1.3.2)是一类磷酸酶(将磷酸基团从有机分子上水解下来的酶),且可进一步归类为磷酸单酯水解酶。酸性磷酸酶储存于溶酶体中,在其与核内体融合后
- 心脏学人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学心脏病学(英语:cardiology)亦称心脏学,为
- 止吐剂止吐剂(英语:Antiemetic),又称止吐药,广义上的止吐药指一切用于治疗恶心与呕吐的药物。由于呕吐是一种复杂的反射活动,由多种因素引起,故不同作用机理的止吐药只能针对其中一种或多
- 印尼语印度尼西亚语(印尼语:Bahasa Indonesia),简称印尼语,即印尼化的马来语廖内方言,是印度尼西亚的官方语言。属马来-波利尼西亚语族。全世界大约有4280万人使用这种语言,还有1.55亿人
- 方言 §“方言”和“语言”的界定方言指的是一个某种语言的变体,但有时也可以指地方上使用的语言。然而,值得注意的是,在对所谓的“语言”和“方言”进行定义时,无论是采用社会语言学者“相互理解性”的判别标准
- 存水弯存水弯,是U型、S型、或J形的管件装置,让废水及污水流进地下室筏基,并且阻止臭气及其他气体逆流或倒灌进室内, Alexander Cummings(英语:Alexander Cummings)在1775年发明S型弯的,但
- 连接词连词(英语:conjunction; 西班牙语:conjunción)又称连接词,是用来连接词语、短语、句子、段落等的词,表示被连接的语言单位之间的关系。连不同的逻缉关系。连接词和词组的连词,跟连