克莱姆法则

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克莱姆法则（英语：Cramer's rule），又称为克拉玛公式、克拉默法则，是一个线性代数中的定理，用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在计算上，并非最有效率之法，因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过，这一定理在理论性方面十分有效。

一个线性方程组可以用矩阵与向量的方程来表示：

其中的${\displaystyle A}$列的列向量后得到的矩阵。为了方便，我们通常使用${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$的系数的${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$的行列式，以及${\displaystyle I}$就是单位矩阵。

对于${\displaystyle n}$元线性方程组${\displaystyle Ax=c}$

把系数矩阵 ${\displaystyle \begin{array}{c}A\end{array}}$ 表示成列向量的形式

${\displaystyle A=\left(u_1,u_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->,u_n\right)}$

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解${\displaystyle x^{\ast <!--\; \ast \; -->}=A^{-<!--\; -\; -->1}c}$.

设${\displaystyle x^{\ast <!--\; \ast \; -->}=(x_1,x_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->,x_n{)}^T}$，即

${\displaystyle A{x}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_k{u}_k=c}$

考虑${\displaystyle {\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}$的值，利用行列式的线性和交替性质，有

于是

${\displaystyle x_i=\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}$

运用克莱姆法则可以很有效地解决以下方程组。

已知：

使用矩阵来表示时就是：

当矩阵可逆时，x和y可以从克莱姆法则中得出：

用3×3矩阵的情况亦差不多。

已知：

当中的矩阵表示为：

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式${\displaystyle F(x,y,u,v)=0}$和${\displaystyle G(x,y,u,v)=0}$。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我们可定义${\displaystyle x=X(u,v)}$和${\displaystyle y=Y(u,v)}$。

找出一条等式适合${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}$是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的导数：

将${\displaystyle dx}$和${\displaystyle dy}$代入${\displaystyle dF}$和${\displaystyle dG}$，可得出：

因为${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$互不相关，所以${\displaystyle du}$和${\displaystyle dv}$的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

现在用克莱姆法则就可得到：

用两个雅可比矩阵来表示的方程：

用类似的方法就可以找到${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}}$、${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}}$以及${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}}$。

克莱姆法则可以用来证明一些线性代数中的定理，当中的定理对环理论十分有用。

克莱姆法则可以用来证明一个线性规划问题有一个基本整数的解。这样使得线性规划的问题更容易被解决。