广义频谱图

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:27:15 #声学,信号处理

广义频谱图(Generalized spectrogram),为频谱图的通用型。为了得知信号随着时间的频率分布状态,以频谱图观察时,其分辨率受到测不准原理影响,频率分辨率与时间分辨率相乘为定值。为解决此问题,于是将频谱图推广至广义频谱图。

一段随时间变化的信号,同时具有时域和频域的特征,若想要了解一个信号在某段时间内的频率特征,最好的方式就是使用时频分析,观察一段信号的时频分布图。频谱图(Spectrogram)就是其中一种同时表示时间和频率特征的分布图。

以高斯函数作为窗函数(window function),使用时频分析,求出两组不同长度的窗函数的加伯转换,即 G x , w 1 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)} G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} ,再将 G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} 取共轭复数后相乘。公式如下:

S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = G x , w 1 ( t , f ) G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)}

其中 w 1 ( t ) , w 2 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t),w_{2}(t)} 为加伯转换的窗函数, t {\displaystyle t} 为时间 f {\displaystyle f} 为频率。

加伯转换的公式如下:

G x , w 1 ( t , f ) = w 1 ( t τ ) x ( τ ) e j 2 π f τ d τ {\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}

G x , w 2 ( t , f ) = w 2 ( t τ ) x ( τ ) e j 2 π f τ d τ {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}

若将 w 1 ( t ) = w 2 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)} ,则与原本频谱图无异。

长度不同的窗函数,其时频域的分辨率不同,依据测不准原理,较窄的窗函数,时间分辨率较好,而频率分辨率较差;相反的,较宽的窗函数,频率分辨率较好,而时间分辨率较差。

为了同时在时间和频率轴上都达到更好的分辨率,把在频谱图原定义中的 w ( t ) {\displaystyle w(t)} 分为两个长短不同的波形。例如 : 可以让 w 1 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t)} 长度较宽,在频域上面有良好的分辨率,而 w 2 ( t ) {\displaystyle w_{2}(t)} 则长度较窄,在时域上有良好的分辨率。先分别运算 G x , w 1 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)} G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} ,再相乘,变为 S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} 。如此一来时域和频域上的分辨率都能兼顾到。

当我们的输入信号为:

我们先分别求出 σ = 0.1 {\displaystyle \sigma =0.1} σ = 1.6 {\displaystyle \sigma =1.6} 的 。经Matlab计算后,如下图

将其中一个取共轭复数后,两者相乘,得到广义频谱图如下;

我们可以与 σ = 0.4 {\displaystyle \sigma =0.4} 的加伯转换比较:

可以发现广义频谱图无论是在时间分辨率下,或是频率分辨率下,都优于 σ = 0.4 {\displaystyle \sigma =0.4} 的加伯转换。

原本的广义频谱图公式为 S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = G x , w 1 ( t , f ) G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)}

我们可以对此再进行一般化,如下

S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = G x , w 1 α ( t , f ) G x , w 2 β ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}^{\alpha }(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{\beta }(t,f)}

或者如下方形式:

S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = | G x , w 1 ( t , f ) | α | G x , w 2 ( t , f ) | β {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=\left|G_{x,{w_{1}}}(t,f)\right|^{\alpha }\left|G_{x,{w_{2}}}(t,f)\right|^{\beta }}

两种方法新增了 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } 两变数,期望能找到更好的分辨率。

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