广义频谱图

广义频谱图（Generalized spectrogram），为频谱图的通用型。为了得知信号随着时间的频率分布状态，以频谱图观察时，其分辨率受到测不准原理影响，频率分辨率与时间分辨率相乘为定值。为解决此问题，于是将频谱图推广至广义频谱图。

一段随时间变化的信号，同时具有时域和频域的特征，若想要了解一个信号在某段时间内的频率特征，最好的方式就是使用时频分析，观察一段信号的时频分布图。频谱图(Spectrogram)就是其中一种同时表示时间和频率特征的分布图。

以高斯函数作为窗函数(window function)，使用时频分析，求出两组不同长度的窗函数的加伯转换，即 ${\displaystyle G_{x,w_1}\left(t,f\right)}$ 和 ${\displaystyle G_{x,w_2}\left(t,f\right)}$ ，再将 ${\displaystyle G_{x,w_2}\left(t,f\right)}$ 取共轭复数后相乘。公式如下：

${\displaystyle S{P}_{x,w_1,w_2}(t,f)=G_{x,w_1}(t,f)G_{x,w_2}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t,f)}$

其中${\displaystyle w_1(t),w_2(t)}$为加伯转换的窗函数，${\displaystyle t}$为时间 ${\displaystyle f}$为频率。

加伯转换的公式如下：

${\displaystyle G_{x,w_1}\left(t,f\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{w}_1\left(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)x\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$

${\displaystyle G_{x,w_2}\left(t,f\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{w}_2\left(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)x\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$

若将${\displaystyle w_1(t)=w_2(t)}$，则与原本频谱图无异。

长度不同的窗函数，其时频域的分辨率不同，依据测不准原理，较窄的窗函数，时间分辨率较好，而频率分辨率较差；相反的，较宽的窗函数，频率分辨率较好，而时间分辨率较差。

为了同时在时间和频率轴上都达到更好的分辨率，把在频谱图原定义中的${\displaystyle w(t)}$分为两个长短不同的波形。例如 : 可以让${\displaystyle w_1(t)}$长度较宽，在频域上面有良好的分辨率，而${\displaystyle w_2(t)}$则长度较窄，在时域上有良好的分辨率。先分别运算${\displaystyle G_{x,w_1}\left(t,f\right)}$和${\displaystyle G_{x,w_2}\left(t,f\right)}$，再相乘，变为${\displaystyle S{P}_{x,w_1,w_2}\left(t,f\right)}$。如此一来时域和频域上的分辨率都能兼顾到。

当我们的输入信号为：

我们先分别求出${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=0.1}$ 与 ${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=1.6}$ 的 。经Matlab计算后，如下图

将其中一个取共轭复数后，两者相乘，得到广义频谱图如下；

我们可以与${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=0.4}$的加伯转换比较：

可以发现广义频谱图无论是在时间分辨率下，或是频率分辨率下，都优于${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=0.4}$的加伯转换。

原本的广义频谱图公式为${\displaystyle S{P}_{x,w_1,w_2}(t,f)=G_{x,w_1}(t,f)G_{x,w_2}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t,f)}$

我们可以对此再进行一般化，如下

${\displaystyle S{P}_{x,w_1,w_2}(t,f)=G_{x,w_1}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(t,f)G_{x,w_2}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(t,f)}$

或者如下方形式：

${\displaystyle S{P}_{x,w_1,w_2}(t,f)={\left|G_{x,w_1}(t,f)\right|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\left|G_{x,w_2}(t,f)\right|}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$

两种方法新增了${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$、${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$两变数，期望能找到更好的分辨率。