马尔可夫方程

不定方程${\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=3x_1{x}_2{x}_3}$称为马尔可夫方程（英语：Markov equation或Markoff equation）。

求解方法如下：

这个方程有无限个解。

事实上，用这个方法由(1,1,1)开始，可以找出这方程的所有正整数数组解。

在此不定方程的解出现的正整数称为马尔可夫数（英语：Markov number），它们由小到大是：

它们组成的解是：

马尔可夫数可以排成一棵二叉树（如图）。

在二叉树上，和 1 的范围相邻的数（即二叉树的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契数。

和 2 的范围邻接的数（即二叉树的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特质：它们都是相隔的佩尔数。

每个数只在树上出现一次（即没有正整数${\displaystyle z}$使得${\displaystyle (a,b,z),(c,d,z)}$都是方程的解，其中${\displaystyle a,b,c,d}$是两两相异的正整数，且${\displaystyle a>b>z,c>d>z}$）。

马尔可夫-赫维兹方程（英语：Markov-Hurwitz equation），是指形式如${\displaystyle x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=a{x}_1{x}_2...x_n}$的不定方程，其中${\displaystyle a,n}$是正整数。

阿道夫·赫维兹证明了：方程有${\displaystyle (0,...,0)}$之外的解的必要条件之一是${\displaystyle a\le <!--\; \le \; -->n}$。