单位矩阵

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:42:56 #线性代数,矩阵,一

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在线性代数中, n {\displaystyle n} 阶单位矩阵,是一个 n × n {\displaystyle n\times n} 的方形矩阵,其主对角线元素为1,其余元素为0。单位矩阵以 I n {\displaystyle I_{n}} 表示;如果阶数可忽略,或可由前后文确定的话,也可简记为 I {\displaystyle I} (或者 E {\displaystyle E} )。(在部分领域中,如量子力学,单位矩阵是以粗体字的1表示,否则无法与 I {\displaystyle I} 作区别。)

一些数学书籍使用 U {\displaystyle U} E {\displaystyle E} (分别意为“单位矩阵”和“基本矩阵”),不过 I {\displaystyle I} 更加普遍。

特别是单位矩阵作为所有 n {\displaystyle n} 阶矩阵的环的单位,以及作为由所有 n {\displaystyle n} 阶可逆矩阵构成的一般线性群 G L ( n ) {\displaystyle GL(n)} 的单位元(单位矩阵明显可逆,单位矩阵乘自己,仍是单位矩阵)。

这些 n {\displaystyle n} 阶矩阵经常表示来自 n {\displaystyle n} 维向量空间自己的线性变换, I n {\displaystyle I_{n}} 表示恒等函数,而不理会基。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵,写作:

也可以克罗内克尔δ记法写作:

根据矩阵乘法的定义,单位矩阵 I n {\displaystyle I_{n}} 的重要性质为:

单位矩阵的特征值皆为1,任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重数 n {\displaystyle n} 。因为特征值之积等于行列式,所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数,单位矩阵的迹为 n {\displaystyle n}

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