单位矩阵

✍ dations ◷ 2025-03-07 10:25:37 #线性代数,矩阵,一

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在线性代数中， $n {\displaystyle n}$ $n$ 阶单位矩阵，是一个 $n\times n$ $n\times n$ 的方形矩阵，其主对角线元素为1，其余元素为0。单位矩阵以 $I_{n}$ $I_n$ 表示；如果阶数可忽略，或可由前后文确定的话，也可简记为 $I {\displaystyle I}$ $I$ （或者 $E {\displaystyle E}$ $E$ ）。（在部分领域中，如量子力学，单位矩阵是以粗体字的1表示，否则无法与 $I {\displaystyle I}$ $I$ 作区别。）

一些数学书籍使用 $U {\displaystyle U}$ $U$ 和 $E {\displaystyle E}$ $E$ （分别意为“单位矩阵”和“基本矩阵”），不过 $I {\displaystyle I}$ $I$ 更加普遍。

特别是单位矩阵作为所有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 阶矩阵的环的单位，以及作为由所有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 阶可逆矩阵构成的一般线性群 $GL(n)$ $GL(n)$ 的单位元（单位矩阵明显可逆，单位矩阵乘自己，仍是单位矩阵）。

这些 $n {\displaystyle n}$ $n$ 阶矩阵经常表示来自 $n {\displaystyle n}$ $n$ 维向量空间自己的线性变换， $I_{n}$ $I_n$ 表示恒等函数，而不理会基。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵，写作：

也可以克罗内克尔δ记法写作：

根据矩阵乘法的定义，单位矩阵 $I_{n}$ $I_n$ 的重要性质为：

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重数 $n {\displaystyle n}$ $n$ 。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为 $n {\displaystyle n}$ $n$ 。

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