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希尔微分方程

✍ dations ◷ 2025-08-06 16:15:55 #微分方程

希尔微分方程或是希尔方程是指以下的二阶常微分方程

其中为周期函数

希尔微分方程得名自1886年发现此方程的天文学家乔治·希尔

一般会假设()的周期为，则希尔方程可以改写为()的傅里叶级数：

希尔方程中特殊的例子有马丢方程（只对应 = 0, 1的情形）以及Meissner方程（英语：Meissner equation）。

在研究周期微分方程时，希尔微分方程是重要的范例。依照()的不同，其解可能一直是有界的，也有可能其振荡的振幅会指数成长。Hill微分方程的准确解可以由弗洛凯理论描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希尔微分方程最早是应用在月球稳定性的研究，不过后来也用在许多其他的领域，包括四极杆质量分析器（英语：quadrupole mass spectrometer）的建模，像是晶体中电子的一维薛定谔方程等。

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