朗道-利夫希兹方程

在物理学上，朗道-利夫希兹-吉尔伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert），是以列夫·达维多维奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨和T·L·吉尔伯特命名的物理方程，以差分方程为基础阐述一个进动磁性粒子的自发磁化。由T·L·吉尔伯特修改列夫·达维多维奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨的方程得到。该方程可以描述无外场作用下粒子受平均场作用而产生的运动。该方程直接暗示了自旋系统存在孤子。朗道-利夫希兹方程是非线性偏微分方程，该方程有单一孤子的严格解，对于多孤子情形，可以采取数值方法求解。该方程在在不同情形下模拟微磁性磁场的铁磁性磁场，尤其孤子于磁场的时阈行为。. 附加方程用于阐述自旋极化电流对磁体的影响。

设一个铁磁体，磁化强度M可在其内部发生变化，但每一点拥有相等的磁饱和强度M_S.朗道-利夫希兹-吉尔伯特方程对磁化响应于转矩的旋转，引入:

${\displaystyle \frac{d\mathbf{M}}{dt}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->\left(\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}\right)}$ 是孤子旋磁比，是现象阻尼参数，则：

其中，是一个无量纲常数，称为阻尼因子。有效场场H_eff为外部场的一个组合时，退磁场（磁化磁场）的量子力学效应。解方程前提是包含用于退磁场的附加方程。

采用不可逆的统计力学法，可独立推导出朗道-利夫希兹方程。

1955年吉尔伯特由一个依赖于磁场的时间导数取代了朗道-利夫希兹的阻尼项：

${\displaystyle \frac{d\mathbf{M}}{dt}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\left(\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->\frac{d\mathbf{M}}{dt}\right)}$ 是材料特性的阻尼参数。它可以转化为朗道-利夫希兹方程：

${\displaystyle \frac{d\mathbf{M}}{dt}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\prime }\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->(\mathbf{M}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}})}$依赖于阻尼项。这更好地代表现实中磁体影响时，阻尼较大。

该方程的基本思想就是，在规范场作用下，粒子的运动本身会产生电磁场，而这种电磁场可以自我驱动于每一个粒子

协变情况下，${\displaystyle D_t={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t+iv\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$, 这里的速度代表的是粒子运动的群速度。

平均场引发的自我驱动往往具有自持效果，这种效果的体现就是一群粒子可以形成稳定的孤子波。这就是磁性孤子。