运动常数

在经典力学里，对于一个动力系统，随着时间的演进，所有保持不变的物理量都称为运动常数（constant of motion），又称为守恒量。它的作用有点类似运动的约束。可是，运动常数是数学的约束，自然地从运动方程中显现出来，而不是物理的约束；物理的约束会有相应的约束力来维持这约束。常见的运动常数例子有能量、动量、角动量、拉普拉斯-龙格-楞次矢量。

运动常数的辨认对于研究物理问题是非常重要的。通过解析运动常数，可以明了许多物体运动的性质，而不需将运动方程的解答完全计算出来。假若一个物体的角动量矢量是恒定的，则此物体的轨迹（Trajectory）必包含于一个平面。在有些幸运的状况下，甚至连运动轨迹都可以简单地导引出来；因为它们是运动常数的等值曲面之相交线。举例而言，从潘索椭圆球（Poinsot's ellipsoid）可以观察出，一个净力矩等于零的刚体的旋转，其角速度轨迹是一个圆球（角动量守恒）与一个椭圆球（能量守恒）的相交。用别种方法，这答案或许很不容易导引出。因此，运动常数的辨认是很重要的研究目标。

辨认运动常数的方法有好几种：

另外一个很有用的理论，泊松定理阐明：假若${\displaystyle A}$与${\displaystyle B}$都是运动常数，则它们的泊松括号${\displaystyle }$也是运动常数。

一个物理系统，假若拥有${\displaystyle n}$个自由度，${\displaystyle n}$个运动常数，其任何一对运动常数的泊松括号等于零，则称此系统为完全可积分系统（completely integrable system）。称这一集合的运动常数互相对合。

假若，一个可观测量${\displaystyle Q}$与哈密顿量${\displaystyle H}$是可交换的，而且不显性地含时间，则此可观测量是个运动常数。

假设，一个可观测量${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$跟位置${\displaystyle x}$、动量${\displaystyle p}$、时间${\displaystyle t}$有关。再假设一个波函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$遵守薛定谔方程${\displaystyle i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=H\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$。求${\displaystyle Q}$期望值对于时间${\displaystyle t}$的导数，

其中，${\displaystyle =HQ-<!--\; -\; -->QH}$是交换子。

假若，${\displaystyle Q}$与哈密顿量${\displaystyle H}$是可交换的，而且不显性地含时间，则

所以，${\displaystyle Q}$是运动常数。