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数学上，一个${\displaystyle m\times <!--\; \times \; -->n}$×矩阵${\displaystyle {\mathbf{A}}_f}$个元素是1，其余元素是0的向量）在${\displaystyle f}$在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述${\displaystyle f}$的对偶变换来表示。

当矩阵的元素是带单位元的环${\displaystyle \mathbf{R}}$个顶点的边的数目。距离矩阵则是表示图中各顶点之间距离的矩阵。在研究互联网等复杂网络的时候，邻接矩阵常常会是稀疏矩阵。因此网络理论中有专门研究稀疏矩阵的方面。

在多元函数微积分学中，对二阶偏导数存在的函数${\displaystyle f:{\mathbf{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbf{R}}$的条件最优化问题可以转变为关于海森矩阵的二次规划问题。

矩阵在多元函数微积分中的另一个应用是雅可比矩阵。函数${\displaystyle f:{\mathbf{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbf{R}}^m}$在某一点x上的一阶偏导数存在时，可以定义它在这点上的雅可比矩阵：

偏微分方程理论中，二阶拟线性偏微分方程可以根据最高次偏导项系数构成的矩阵的正定性分类。假设有一个二阶拟线性偏微分方程：

记矩阵${\displaystyle \mathbf{A}={}_{1⩽<!--\; ⩽\; -->i,j⩽<!--\; ⩽\; -->n}}$。如果矩阵${\displaystyle \mathbf{A}}$是正定或负定矩阵，那么就称方程${\displaystyle (\mathbf{E})}$为椭圆形偏微分方程；如果${\displaystyle \mathbf{A}}$不可逆，就称${\displaystyle (\mathbf{E})}$为抛物形偏微分方程，如果${\displaystyle \mathbf{A}}$可逆而且恰有${\displaystyle n-<!--\; -\; -->1}$个特征值同号，就称${\displaystyle (\mathbf{E})}$为双曲型偏微分方程。其它情况下也称${\displaystyle (\mathbf{E})}$为超双曲形偏微分方程。不同类型的方程解的形式也不一样。

用数值方法解偏微分方程时更需要用到矩阵。一个重要的方法是有限元方法，在求解各种物理中遇到的偏微分方程时广泛使用。有限元方法的基本思想是用一系列“简单”函数的线性组合来“逼近”偏微分方程的精确解。这些“简单”函数通常是指将求解区域分割成一定数量的“小块”后，仅在某一“小块”上非零的分段线性函数。选定了网格和“简单”函数后，可以求解关于刚度矩阵的方程得到近似解。有限元理论中证明了在满足一定的条件下，近似解将随着网格趋于精细而弱收敛到精确解。

概率论中常用到随机矩阵，即行向量是概率向量（即所有的元素都在0和1之间，并且加起来等于1的向量）的矩阵。随机矩阵可用来定义有限概率空间中的马尔可夫链。设随机变量${\displaystyle X_n}$是某个马尔可夫链在${\displaystyle t=n}$时刻的状态，所有可能的状态${\displaystyle S=\left\{s_1,s_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->,s_m\right\}}$称为状态空间，那么随机矩阵${\displaystyle M_n^{n+1}}$则记录了假设已知${\displaystyle X_n}$的可能情况下${\displaystyle X_{n+1}}$做各种取值的可能性。${\displaystyle M_n^{n+1}}$的第${\displaystyle i}$行第${\displaystyle j}$列上的元素表示当${\displaystyle X_n=s_j}$的时候，${\displaystyle X_{n+1}=s_i}$的可能性。${\displaystyle M_n^{n+1}}$的第${\displaystyle j}$行记录了从${\displaystyle X_n=s_j}$转移到${\displaystyle X_{n+1}}$各种状态的可能性。所以${\displaystyle M_n^{n+1}}$叫做${\displaystyle t=n}$时刻的转移矩阵。如果马尔可夫链的转移矩阵不随时刻变化，则称为齐次马尔可夫链。这时马尔可夫链的吸引态可以通过计算转移矩阵的特征向量得到。

统计学中也会用到各种不同的矩阵。描述统计学中常常需要用矩阵的形式来描述数据样本，显得更为紧凑。几个随机变量的协方差矩阵表示它们之间的协方差关系，在某种程度上表示了它们相互间的关联程度（但不绝对）。

统计学中用到矩阵的另一个地方是线性回归中的最小二乘法分析。当观测到随机样本${\displaystyle (Y_i,X_{i1},\dots <!--\; \dots \; -->,X_{ip}),i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n}$时，线性回归法的目标是希望找到以下的线性关系：

即将变量${\displaystyle \mathbf{Y}}$表示成${\displaystyle \mathbf{X}}$的分量的线性组合与一个已知的随机误差的和。这个表示可以写成矩阵的形式，并利用矩阵的奇异值分解来分析。

另一种随机矩阵（random matrix）是指每个元素都是随机变量的矩阵，这些随机变量可以都遵循同一个分布，或各自遵循不同的分布。一个常见的例子是全部元素都是相互独立的标准正态分布随机变量的随机矩阵。这种随机矩阵在数论和物理中也有应用。

线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。

1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。这种做法在矩阵力学中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态。

另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。

在几何光学里，可以找到很多需要用到矩阵的地方。几何光学是一种忽略了光波波动性的近似理论，这理论的模型将光线视为几何射线。采用近轴近似，假若光线与光轴之间的夹角很小，则透镜或反射组件对于光线的作用，可以表达为2×2矩阵与向量的乘积。这向量的两个分量是光线的几何性质（光线的斜率、光线跟光轴之间在主平面（英语：principal plane）的垂直距离）。这矩阵称为光线传输矩阵，内中元素编码了光学组件的性质。对于折射，这矩阵又细分为两种：“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵描述光线遇到透镜的折射行为。平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移行为。

由一系列透镜或反射组件组成的光学系统，可以很简单地以对应的矩阵组合来描述其光线传播路径。

在电子学里，传统的网目分析（英语：mesh analysis）或节点分析会获得一个线性方程组，这可以以矩阵来表示与计算。

很多种电子组件的电路行为可以用矩阵来描述。设置${\displaystyle A}$为输入向量，其两个分量为输入电压${\displaystyle v_1}$与输入电流${\displaystyle i_1}$。设置${\displaystyle B}$为输出向量，其两个分量为输出电压${\displaystyle v_2}$与输出电流${\displaystyle i_2}$。这电子组件的电路行为可以描述为${\displaystyle B=H\cdot <!--\; \cdot \; -->A}$；其中，${\displaystyle H}$是2×2矩阵，内有一个阻抗元素${\displaystyle h_{12}}$、一个导纳元素${\displaystyle h_{21}}$、两个无量纲元素${\displaystyle h_{11}}$与${\displaystyle h_{22}}$。这样，电路的计算可以约化为矩阵计算。