首页 >
比例
✍ dations ◷ 2025-09-17 06:49:26 #比例
在数学中,比例是两个非零数量
y
{displaystyle y}
与
x
{displaystyle x}
之间的比较关系,记为
y
:
x
(
x
,
y
∈
R
)
{displaystyle y:x;(x,yin mathbb {R} )}
,在计算时则更常写为
y
x
{displaystyle {frac {y}{x}}}
或
y
/
x
{displaystyle y/x}
。若两个变量的关系符合其中一个量是另一个量乘以一个常数(
y
=
k
x
{displaystyle y=kx}
),或等价地表达为两变数之比率为一个常数(称为比值,
y
/
x
=
k
{displaystyle y/x=k}
),则称两者是成比例的。如果
y
{displaystyle y}
与
x
{displaystyle x}
是可通约的,亦即它们之间存在一个公测量(common measure)
m
(
m
∈
R
)
{displaystyle m;(min mathbb {R} )}
使得
y
=
m
p
,
x
=
m
q
(
p
,
q
∈
Z
)
{displaystyle y=mp,x=mq;(p,qin mathbb {Z} )}
,
y
:
x
{displaystyle y:x}
就相等于两个整数的比:
y
:
x
=
m
p
:
m
q
=
p
:
q
{displaystyle y:x=mp:mq=p:q}
,那么
y
:
x
{displaystyle y:x}
就称为可通约比(commensurable ratio),
p
q
{displaystyle {frac {p}{q}}}
称为一个分数,其比值称为有理数;否则,如果不存在一个公测量,
y
:
x
{displaystyle y:x}
就称为不可通约比(incommensurable ratio),其比值称为无理数,亦即无法表达为分数的数。两个比例之间也可以互相比较。如果两个比例相等,亦即,它们的比值相同,这个相等关系称为一个等比关系,例如,
y
:
x
=
u
:
o
{displaystyle y:x=u:o}
是一个等比关系,其中
x
u
=
y
o
{displaystyle xu=yo}
。特别是,如果第二项等于第三项,例如
y
:
x
=
x
:
z
{displaystyle y:x=x:z}
,那么
x
2
=
y
z
→
x
=
y
z
{displaystyle x^{2}=yzrightarrow x={sqrt {yz}}}
,
x
{displaystyle x}
称为
y
{displaystyle y}
与
z
{displaystyle z}
的几何平均数(geometric mean)。若存在一非零常数
k
{displaystyle k}
使则称变量
y
{displaystyle y}
与变量
x
{displaystyle x}
成比例(有时也称为成正比)。当
x
{displaystyle x}
和
y
{displaystyle y}
成正比关系,表示当
x
{displaystyle x}
变为原来
k
{displaystyle k}
倍时,
y
{displaystyle y}
也会变为原来的
k
{displaystyle k}
倍。该关系通常用
∝
{displaystyle propto }
(U+221D)表示为:并称该常数比率为比例常数或比例关系中的比例恒量。在日常生活中,正比这个词的使用并不严格局限于线性函数,一般来说,一个变量随着另一个变量的增大/缩小而相应地增大/缩小,近似地满足线性关系的时候,我们可以说这两个变量成正比。现代数学对于比例的用法并没有严格限制,例如,在一个班级里面,我们可以说:“男孩与女孩的比例是2比1”。然而,在古希腊数学中,由于比例是用来表示倍数关系,所以必须是相同种类的数量才能构成比例,例如,欧几里得在《几何原本》第五册中如此定义比例:
.mw-parser-output .templatequote{margin-top:0;overflow:hidden}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite{line-height:1em;text-align:left;padding-left:2em;margin-top:0}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite cite{font-size:small}λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.比例是两个同类数量之间的大小关系。阿基米德使用这个定义来叙述均匀运动(uniform motion)的等比关系:在一个均匀运动中,两段距离的比例相等于它们所需时间的比例。阿基米德所要描述的,就是匀速运动,但是古希腊数学并不接受距离与时间的比例(亦即速率),因为它们是不一样的数量,所以他没有办法直接说:“均匀运动就是每一点上的速率皆相等”。当采用古希腊的比例论来叙述时,必须取两段距离
L
1
{displaystyle L_{1}}
与
L
2
{displaystyle L_{2}}
以及所需时间
T
1
{displaystyle T_{1}}
与
T
2
{displaystyle T_{2}}
,均匀运动(匀速运动)就是
L
1
:
L
2
=
T
1
:
T
2
{displaystyle L_{1}:L_{2}=T_{1}:T_{2}}
。因为等价于因此可推出,若
y
{displaystyle y}
与
x
{displaystyle x}
之间存在正比关系,则
x
{displaystyle x}
与
y
{displaystyle y}
之间存在正比关系。y
{displaystyle y}
与
x
{displaystyle x}
的正比关系也可以被解读为一条在二维直角坐标系穿过原点的直线,其斜率为比例常数。比例关系中,位于两端的两数之积等于位于中间的两数之积:在上面定义中,我们说有时称两个成比例的变量成正比例,这是为了和反比例关系相对应。如果两变量中,一个变量和另外一个变量的倒数成正比,或等价地,若这两变量的乘积是一个常数,则称这两个变量是成反比例(或相反地变化)的。从而可继续推出,若存在一非零常数
k
{displaystyle k}
使则变量
y
{displaystyle y}
和变量
x
{displaystyle x}
成反比。反比例关系的概念基本上说明的是这样一种关系,即当一个变量的值变大时,另一变量的值相应变小,而两者之积总是保持为一常数(即比例常数)。举例来说,运动中的车辆走完一段路程所花费的时间是和这辆车运动的速度成反比的;在地上挖个坑所花的时间也(大致地)和雇来挖坑的人数成反比的。在笛卡尔坐标平面上,两个具有反比例关系的变量的图形是一对双曲线。该图线上的每一点的 X 和 Y 坐标值之积总是等于比例常数
k
{displaystyle k}
。由于
k
{displaystyle k}
非零,所以图线不会与坐标轴相交若变量
y
{displaystyle y}
与变量
x
{displaystyle x}
的指数函数成正比,即:若存在非零常数
k
{displaystyle k}
使则称
y
{displaystyle y}
与
x
{displaystyle x}
成指数比例。类似地,若变量
y
{displaystyle y}
与变量
x
{displaystyle x}
的对数函数成正比,即:若存在非零常数
k
{displaystyle k}
使则称
y
{displaystyle y}
与
x
{displaystyle x}
成对数比例。用实验方法确定两个物理量是否具有正比关系,可采用这样的办法,即进行多次测量并在笛卡尔坐标系中将这些测量结果用多个点来表示,而绘制出这些点的分布图形;如果所有点完全(或接近)地落在一条穿过原点
(
0
,
0
)
{displaystyle (0,0)}
的直线上,则这两个变量(很有可能)具有比例常数等于该直线斜率的正比关系。
相关
- 急性间质性肺炎急性间质性肺炎又称为Hamman-Rich症候群,是一种原因不明之罕见且严重的急性肺病,属于特发性间质性肺炎和间质性肺病的一种。往往看上去完全健康的人极偶尔会患这种病。至2005
- 昏迷糖尿病昏迷为一种常见的内科急症,只有通过准确且有效的治疗才能让患者及时康复,相反,若不及时抢救亲者脑部缺氧瘫痪及会诱发各种并发症以至患者死亡。其确诊依赖于患者病史、
- 宇宙宇宙是所有时间、空间与其包含的内容物所构成的统一体;它包含了行星、恒星、星系、星系际空间、次原子粒子以及所有的物质与能量,宇指空间,宙指时间。目前人类可观测到的宇宙,其
- 商业关键伙伴关系 · 关键活动 · 关键资源 价值主张 · 顾客关系 · 行销通路 顾客区隔商业(Commerce),是一种有组织的提供顾客所需的商品与服务的一种行为。中文之“商业”
- 补体补体系统(英语:complement system)由一系列的蛋白质组成,属先天免疫系统的一部分。补体系统透过一连串的酵素(酶)相互切割启动,最终在目标微生物上形成类似孔洞的膜攻击复合物(Memb
- 窦窦(英文:Sinus)指的是器官或组织的囊或腔室。窦可以是天生的也可以是后天由于组织受损而偶然生成的。例如鼻窦就是窦的一种。鼻窦位于人的头颅,在头骨之间、鼻腔周围的颅骨与脸
- 共享经济共享经济(Sharing economy),有别于租赁经济,是一种共用人力与资源的社会运作方式。它包括不同个人与组织对商品和服务的创造、生产、分配、交易和消费的共享。常见的形式有汽车
- 氯化苄氯化苄(化学式:C6H5CH2Cl),又名苄基氯、苯氯甲烷、苄氯,是苯上一个氢原子被氯甲基取代后形成的化合物,也是重要的有机合成中间体。氯化苄在通常情况下为无色或微黄色有强烈刺激性
- 芽细胞在细胞生物学中,前体细胞(英语:precursor cell,也被称为母细胞,blast cell)是指已经部分分化的细胞,其分化潜能仅为单能性,较祖细胞更少。前体细胞可视为从干细胞分化到具体细胞的最
- 马达蛋白马达蛋白是一类分子马达,它们可以沿着合适底物的表面进行移动。马达蛋白是利用ATP水解所产生的化学能量转化为自身的运动。马达蛋白是细胞内物质运输颗粒和囊泡的载体。马达