并运算

在数学中，集合上的并（英语：join）可以用两种方式定义：关于这个集合上的偏序的唯一上确界（最小上界），假定这种上确界存在的话；或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果，除了偏序方式有可能直并的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是格。

${\displaystyle x}$ 是带有偏序 ${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->}$ 中的两个元素。 中的一个元素 ${\displaystyle z}$ 中的某些对元素可能缺乏并，要么因为它们根本就没有上界，要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并，则这个并实际上是在 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 中任何元素 ${\displaystyle x}$ 上的二元运算 ${\displaystyle \vee <!--\; \vee \; -->}$,${\displaystyle \vee <!--\; \vee \; -->}$ 上的二元关系 ${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->}$ 上的偏序。实际上，对于 中任何元素 ${\displaystyle x}$,${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->}$ 中每对元素都有并，则确实 ${\displaystyle x\vee <!--\; \vee \; -->y=y}$,${\displaystyle \vee <!--\; \vee \; -->}$ 中某些元素 ${\displaystyle x}$,${\displaystyle \vee <!--\; \vee \; -->}$ 的某个子集的确有关于它的上确界。对于非空有限子集，这两种方式生成同样的结果，因此任何一个都可以作为并的定义。在 的每个子集都有并的情况下，实际上 (,${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->}$) 是完全格；详情请参见完全性 (序理论)。