环绕数

在数学中，环绕数（linking number）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负” ：正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即这里 n1, n2, n3, n4 分别表示四类交叉数的个数。两个和 n 1 + n 3 {displaystyle n_{1}+n_{3},!} 与 n 2 + n 4 {displaystyle n_{2}+n_{4},!} 总相等。这样得到了如下另外的公式注意到 n 1 − n 4 {displaystyle n_{1}-n_{4}} 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而 n 2 − n 3 {displaystyle n_{2}-n_{3}} 只涉及到上交叉。给定两条不交可微曲线 γ 1 , γ 2 : S 1 → R 3 {displaystyle gamma _{1},gamma _{2}colon S^{1}rightarrow mathbb {R} ^{3}} ，定义从环面到单位球面高斯映射 Γ {displaystyle Gamma } 为取单位球面上一点 v，从而链环的正交投影到垂直于 v 的平面给出一个链环图表。观察到点 (s, t) 在高斯映射下映为 v 对应于链环图表中一个交叉，这里 γ 1 {displaystyle gamma _{1}} 在 γ 2 {displaystyle gamma _{2}} 上。并且 (s, t) 的一个邻域在高斯映射下映为 v 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 v 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 v 的带符号次数。由于 v 是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。曲线 γ1 与 γ2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分：这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。U(1) 陈-西蒙斯理论是：C S = k 4 π ∫ M A d A {displaystyle CS={frac {k}{4pi }}int _{M}AdA}若 M = R 3 {displaystyle M=R^{3}} ，路径积分是Z ( C 1 , C 2 ) = ∫ d A exp ⁡ ( i C S + i ∫ C 1 A + i ∫ C 2 A ) = ∫ d A exp ⁡ ( i C S + i ∫ J A ) {displaystyle Z(C_{1},C_{2})=int dAexp {(iCS+iint _{C_{1}}A+iint _{C_{2}}A)}=int dAexp {(iCS+iint JA)}} ，包括C1和C2的威尔森循环。J=J1+J2，而且J i a = ∫ C i d x a δ 3 ( x − x i ( t ) ) {displaystyle J_{i}^{a}=int _{C_{i}}dx^{a}delta ^{3}(x-x_{i}(t))}因为这是高斯的积分，所以我们不需要重整化或正规化。再说这个积分是拓扑不变。若J是经典方程就是d A = ( 2 π / k ) ∗ J {displaystyle dA=(2pi /k)*J}或∇ × A = 2 π J / k {displaystyle nabla times A=2pi J/k}若我们选洛伦茨规范 d ∗ A = 0 {displaystyle d*A=0}∇ 2 A = − 2 π ∇ × J / k {displaystyle nabla ^{2}A=-2pi nabla times J/k}从电磁学，解是A ( x ) = 1 2 k ∫ d 3 y ∇ × J ( y ) | x − y | {displaystyle A(x)={frac {1}{2k}}int d^{3}y{frac {nabla times J(y)}{|x-y|}}}则Z [ C 1 , C 2 ] = exp ⁡ ( 2 π i ϕ ( C 1 , C 2 ) / k ) {displaystyle Z=exp(2pi iphi (C_{1},C_{2})/k)}这是最简单的一个拓扑量子场论。根据爱德华·威滕的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如琼斯多项式。