Q查理耶多项式

q查理耶多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式

令Q查理耶多项式 a→a*(1-q),并令q→1，即得查理耶多项式

${\displaystyle li{m}_{q\to <!--\; \to \; -->1}{C}_n(q^{-<!--\; -\; -->n};a(1-<!--\; -\; -->q);q)=C_n(x;a)}$

Q查理耶多项式之第4项(k=4):

${\displaystyle \frac{\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->n}\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->n}q\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->n}{q}^2\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->n}{q}^3\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->x}\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->x}q\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->x}{q}^2\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->x}{q}^3\right){\left(q^n\right)}^4{q}^4}{a^4{\left(1-<!--\; -\; -->q\right)}^5\left(1-<!--\; -\; -->q^2\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^3\right)\left(1-<!--\; -\; -->q^4\right)}}$展开之：${\displaystyle \frac{1}{24}\frac{36nx-<!--\; -\; -->66n{x}^2+36n{x}^3-<!--\; -\; -->6n{x}^4-<!--\; -\; -->66n^{2}x+121n^2{x}^2-<!--\; -\; -->66n^2{x}^3+11n^2{x}^4+36n^{3}x-<!--\; -\; -->66n^3{x}^2+36n^3{x}^3-<!--\; -\; -->6n^3{x}^4-<!--\; -\; -->6n^{4}x+11n^4{x}^2-<!--\; -\; -->6n^4{x}^3+n^4{x}^4}{a^4}}$

另一方面查理耶多项式的k=4项为

${\displaystyle \frac{1}{24}\frac{\mathit{p}\mathit{o}\mathit{c}\mathit{h}\mathit{h}\mathit{a}\mathit{m}\mathit{m}\mathit{e}\mathit{r}\left(-<!--\; -\; -->n,4\right)\mathit{p}\mathit{o}\mathit{c}\mathit{h}\mathit{h}\mathit{a}\mathit{m}\mathit{m}\mathit{e}\mathit{r}\left(-<!--\; -\; -->x,4\right)}{a^4}}$

展开之

${\displaystyle \frac{1}{24}\frac{nx\left(36-<!--\; -\; -->66x+36x^2-<!--\; -\; -->6x^3-<!--\; -\; -->66n+121nx-<!--\; -\; -->66n{x}^2+11n{x}^3+36n^2-<!--\; -\; -->66n^{2}x+36n^2{x}^2-<!--\; -\; -->6n^2{x}^3-<!--\; -\; -->6n^3+11n^{3}x-<!--\; -\; -->6n^3{x}^2+n^3{x}^3\right)}{a^4}}$

二者显然相等 QED