正十二面体

正十二面体是由12个正五边形所组成的正多面体，它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号{5,3}所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性（英语：Octahedral Symmetry）的卡塔兰多面体菱形十二面体，它（加上所有其它的五角十二面体）都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面体还是截顶五方偏方面体的特例。其四维类比为正一百二十胞体。面的图形：正五边形 面的数目：12 边的数目：30 顶点数目：20 二面角角度： θ = arccos ⁡ ( − 1 5 ) = 2 arctan ⁡ φ ≈ 116.5650512 ∘ {displaystyle {boldsymbol {theta }}=arccos left(-{frac {1}{sqrt {5}}}right)=2arctan varphi approx 116.5650512^{circ }} 如果正十二面体棱长为a： 表面积： A = 3 25 + 10 5 a 2 ≈ 20.645728807 a 2 {displaystyle A=3{sqrt {25+10{sqrt {5}}}}a^{2}approx 20.645728807a^{2}} 体积： V = 1 4 ( 15 + 7 5 ) a 3 ≈ 7.6631189606 a 3 {displaystyle V={frac {1}{4}}(15+7{sqrt {5}})a^{3}approx 7.6631189606a^{3}} 外接球半径： r u = a 3 4 ( 1 + 5 ) ≈ 1.401258538 ⋅ a {displaystyle r_{u}=a{frac {sqrt {3}}{4}}left(1+{sqrt {5}}right)approx 1.401258538cdot a} 内切球半径： r i = a 1 2 5 2 + 11 10 5 ≈ 1.113516364 ⋅ a {displaystyle r_{i}=a{frac {1}{2}}{sqrt {{frac {5}{2}}+{frac {11}{10}}{sqrt {5}}}}approx 1.113516364cdot a} 中交球半径： r m = a 1 4 ( 3 + 5 ) ≈ 1.309016994 ⋅ a {displaystyle r_{m}=a{frac {1}{4}}left(3+{sqrt {5}}right)approx 1.309016994cdot a}对偶多面体：正二十面体如果我们以正十二面体的形心为原点建立三维直角坐标系，那么其20个顶点可被描述为： (0,±φ,±1/φ) (±1/φ,0,±φ) (±φ,±1/φ,0) (±1,±1,±1) 其中φ = (1+√5)/2，是黄金分割数，也被写作τ，约等于1.618。 该正十二面体棱长为2/φ=√5–1。其外接球半径正好为√3。正十二面体有两种特殊的正交投影，分别正对着其一个顶点和一个正五边形面，对应着A2和H2考克斯特平面（英语：Coxeter plane）在透视投影中，如果如果投影中心正在正十二面体外接球正对其一面的一点，则你能得到其施莱格尔图像（英语：schlegel diagram），我们亦可以将其视为球面多面体（英语：Spherical polyhedron）而使用球极投影。这些方法也被用于可视化其四维类比正一百二十胞体，一个由120个全等的正十二面体组成的四维凸正多胞体。正十二面体在拓扑上与一系列三阶正镶嵌（顶点图为n3）有关：正十二面体在拓扑上还和其它阶的正五边形正镶嵌{5,n}(n≥3)有关：正十二面体可以通过不同类型的截取操作来得到一系列不同的半正多面体及其对偶，正二十面体，构成了正二十面体家族：正十二面体与4个星形半正多面体（英语：nonconvex uniform polyhedron）和上述3个复合半正多面体有同样的顶点分布：正十二面体的3个星形化体（英语：stellation）都是星形正多面体（开普勒-普索多面体）：化学：