Pin群

✍ dations ◷ 2025-09-10 14:00:12 #李群

数学中,Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射,就像 Spin 群映到特殊正交群一样。

从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间,但对定二次型,两者都正确。

确定形式的 Pin 群是到正交群的满射,每个分支都是单连通的:它是正交群的二重复叠。正定二次型 Q {\displaystyle Q} ) 惟一的万有覆叠。

任何连通拓扑群在拓扑意义上有惟一的万有覆叠空间,这个空间有惟一的群结构作为基本群的中心扩张。对一个不连通拓扑空间,含单位元的分支有一个惟一的万有覆叠,然后在其他分支作为拓扑空间可取同一个覆叠(这是单位分支的主齐性空间),但是其它分支的群结构一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群关联的独特的拓扑空间,由 Clifford 代数中得出:存在其他类似的群,对于于其他分支的其他二重复叠或者其他群结构,但是他们不叫做 Pin 或 Spin 群,研究得也少。

两个 Pin 群对应于中心扩张

Spin ( V ) {\displaystyle {\mbox{Spin}}(V)} 边形的二面体群和循环群 C 2 n {\displaystyle C_{2n}} 边形的二面体群的原像,视为子群 Dih n < O ( 2 ) {\displaystyle {\mbox{Dih}}_{n}<O(2)} 边形的二面体群 Dih 2 n < Pin + ( 2 ) {\displaystyle {\mbox{Dih}}_{2n}<{\mbox{Pin}}_{+}(2)} (,) 和 (,)。

这个群的名称在 迈克尔·阿蒂亚、拉乌尔·博特、A. Shapiro:(Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17)一文中引入,他们说“这个笑话归于 J-P. Serre”。这是“Spin”的逆构词法:Pin 之于 Spin 就像 O() 之于 SO(),从而从“Spin”中去掉“S”得到“Pin”。进一步,词“Pin”的法语发音和一个粗痞话相同,这暗示了这个名称的起源于(或被归于)塞尔。

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