Pin群

✍ dations ◷ 2025-09-18 10:02:10 #李群

数学中，Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射，就像 Spin 群映到特殊正交群一样。

从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间，但对定二次型，两者都正确。

确定形式的 Pin 群是到正交群的满射，每个分支都是单连通的：它是正交群的二重复叠。正定二次型 $Q {\displaystyle Q}$ ) 惟一的万有覆叠。

任何连通拓扑群在拓扑意义上有惟一的万有覆叠空间，这个空间有惟一的群结构作为基本群的中心扩张。对一个不连通拓扑空间，含单位元的分支有一个惟一的万有覆叠，然后在其他分支作为拓扑空间可取同一个覆叠（这是单位分支的主齐性空间），但是其它分支的群结构一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群关联的独特的拓扑空间，由 Clifford 代数中得出：存在其他类似的群，对于于其他分支的其他二重复叠或者其他群结构，但是他们不叫做 Pin 或 Spin 群，研究得也少。

两个 Pin 群对应于中心扩张

${\mbox{Spin}}(V)$ 边形的二面体群和循环群 $C_{2n}$ 边形的二面体群的原像，视为子群 ${\mbox{Dih}}_{n}<O(2)$ 边形的二面体群 ${\mbox{Dih}}_{2n}<{\mbox{Pin}}_{+}(2)$ (,) 和 (,)。

这个群的名称在迈克尔·阿蒂亚、拉乌尔·博特、A. Shapiro：（Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17）一文中引入，他们说“这个笑话归于 J-P. Serre”。这是“Spin”的逆构词法：Pin 之于 Spin 就像 O() 之于 SO()，从而从“Spin”中去掉“S”得到“Pin”。进一步，词“Pin”的法语发音和一个粗痞话相同，这暗示了这个名称的起源于（或被归于）塞尔。

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