相交

在数学中，相交是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分，或者说同时属于两者的点的集合不是空集。若两个几何图形在某个地方有且只有一个交点，则可以称为相切而不是相交。如果两个图形完全重合，则一般不称为相交。集合论中，两个集合相交是指它们的交集不是空集。在欧几里得平面上，两条直线要么平行，要么相交，要么重合。这时欧几里得第五公设的推论。相交的两条直线恰好有一个交点。在非欧几何中，按几何特性（曲率），可以分为两类。罗巴切夫斯基几何中两条直线要么平行，要么相交，但平行线不止一条。黎曼几何中两条直线总是相交。三维空间或更高维空间中，两条直线相交则必定共面。欧几里得几何中，同一平面上的两个圆之间的关系有四种：相离、相切、相容和相交。相离指两圆没有交点而且没有一个圆在另一个圆内部。相切是指两圆只有一个交点。相交是指两圆有多于一个交点。相容是指两圆没有交点且一个圆在另一个内部。两个圆相交当且仅当两个圆心之间的距离严格小于两圆的半径之和，并严格大于两圆的半径之差。在平面解析几何中，设两条直线的方程为：那么 ( D 1 ) {displaystyle ({mathcal {D}}_{1})} 与 ( D 2 ) {displaystyle ({mathcal {D}}_{2})} 相交当且仅当行列式：对于两圆相交，设两个圆的方程是：那么 ( C 1 ) {displaystyle ({mathcal {C}}_{1})} 与 ( C 2 ) {displaystyle ({mathcal {C}}_{2})} 相交当且仅当：由于行列式： | 3 5 6 − 1 | = − 33 ≠ 0 {displaystyle {begin{vmatrix}3&5\6&-1end{vmatrix}}=-33neq 0} ，两直线相交。交点为 ( 1 , 3 ) {displaystyle (1,3)} 。由于行列式： | 3 5 6 10 | = 0 {displaystyle {begin{vmatrix}3&5\6&10end{vmatrix}}=0} ，两直线不相交（实际上平行）。这时两个圆心的距离是： [ 1 − ( − 3 ) ] 2 + [ − 4 − ( − 1 ) ] 2 = 5 {displaystyle {sqrt {^{2}+^{2}}}=5} ， | 6 − 2 | < 5 < | 6 + 2 | {displaystyle |6-2|<5<|6+2|} ，因此两圆相交。