黎曼积分

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在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英语：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

让函数 ${\displaystyle f}$, ] 的非负函数，我们想要计算 ${\displaystyle f(x)}$ 的面积），可将区域 的面积以下面符号表示：

黎曼积分的基本概念就是对 -轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 的面积（参考右方第二张图）。同时请注意，如函数为负函数， 、、之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

黎曼积分可推广到值属于${\displaystyle n}$维空间${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$的函数。积分是线性定义的，即如果${\displaystyle \mathbf{f}=(f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,f_n)}$，则${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->\mathbf{f}=(\int <!--\; \int \; -->f_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\int <!--\; \int \; -->f_n)}$。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令${\displaystyle f(x)=1}$若${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle f(0)=0}$，${\displaystyle f(x)=-<!--\; -\; -->1}$若。则对所有${\displaystyle x}$

但如果我们将${\displaystyle f(x)}$向右平移一个单位得到${\displaystyle f(x-<!--\; -\; -->1)}$，则对所有${\displaystyle x>1}$，我们得到

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

此时，如果尝试对上面的${\displaystyle f}$积分，我们得到${\displaystyle +\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$，因为我们先使用了极限${\displaystyle b\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$。如果使用相反的极限顺序，我们得到${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令${\displaystyle f_n(x)=1/n}$在${\displaystyle }$上，其它域上等于0。对所有${\displaystyle n}$，${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->f_{n}dx=1}$。但${\displaystyle f_n}$一致收敛于0，因此${\displaystyle lim{f}_n}$的积分是0。因此${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->fdx\ne lim\int <!--\; \int \; -->f_{n}dx}$。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子${\displaystyle x_i-<!--\; -\; -->x_{i+1}}$，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。