非完整系统

在古典力学里，假如，一个系统有任何约束是非完整约束，则称此系统为非完整系统。非完整约束不是完整约束。完整约束可以用方程式表示为

这里，${\displaystyle f}$是每一个粒子${\displaystyle P_i}$之位置${\displaystyle x_i}$和时间${\displaystyle t}$的函数。非完整约束不能够用上述方程式表示。

完整约束方程式与位置、时间有关，与速度无关。完整约束方程式可以很简易地除去指定的变数。假设变数${\displaystyle x_d}$是完整约束函数${\displaystyle f_k}$里的一个参数，现在指定除去${\displaystyle x_d}$。重新编排上述约束方程式，求出表示${\displaystyle x_d}$的函数${\displaystyle g_k}$：

将函数${\displaystyle g_k}$代入所有提到${\displaystyle x_d}$的方程式。这样，可以除去所有指定变数${\displaystyle x_d}$。

假设一个物理系统原本的自由度是${\displaystyle N}$。现在，将${\displaystyle h}$个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为${\displaystyle m=N-<!--\; -\; -->h}$。可以用${\displaystyle m}$个独立广义座标${\displaystyle (q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_m)}$来完全描述这系统的运动。座标的转换方程式可以表示如下：

换句话说，由于非完整约束无法依照上述方法，来除去其所含广义座标，完全描述非完整系统，所需要的广义座标数目，大于自由度。

约束有时可以用微分形式的约束方程式来表示。思考第${\displaystyle i}$个约束的微分形式的约束方程式：

这里，${\displaystyle c_{ij}}$，${\displaystyle c_i}$分别为微分${\displaystyle d{q}_j}$与${\displaystyle dt}$的系数。

假若此约束方程式是可积分的。也就是说，有一个函数${\displaystyle f_i(q_1,q_2,q_3,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N,t)=0}$的全微分满足下述等式：

那么，此约束是完整约束；否则，此约束是非完整约束。因此，所有的完整约束与某些非完整约束可以用微分形式的方程式来表示。不是所有的非完整约束都可以这样表示。含有广义速度的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束的微分形式的约束方程式，这约束到底是完整约束，还是非完整约束，需要看微分形式的约束方程式能否积分来决定。

表示非完整约束的方程式往往比较复杂。因此，非完整系统也比较难分析，只有简易一点的非完整系统能用形式论来分析。假如，一个非完整系统的约束可以用以下方程式表示：

则称此系统为半完整系统；这里，${\displaystyle {\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_j}$是广义速度。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i}$

这里，${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i(q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N,{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_1,{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_N,t)}$是未知函数。

假设哈密顿原理成立，则下述方程式成立：

这里，${\displaystyle L}$是拉格朗日量，${\displaystyle t_1}$ 与${\displaystyle t_2}$分别为积分的时间下限与上限。经过变分法运算，可以得到方程式

由于这${\displaystyle N}$个广义座标中，仍旧有${\displaystyle n}$个不独立广义座标，不能将拉格朗日方程式提取出来；必须加入拉格朗日乘子项目：

经过变分法运算，可以得到方程式

这里，${\displaystyle {\mathcal{F}}_j}$是广义力的${\displaystyle j}$分量：

虽然还有${\displaystyle n}$个不独立广义座标，仍旧可以调整${\displaystyle n}$加入的拉格朗日乘子，使总和公式内的每一个虚位移${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{q}_j}$的系数都等于0。因此，

这${\displaystyle N}$个方程式加上${\displaystyle n}$个约束方程式，给予了${\displaystyle N+n}$个方程式来解${\displaystyle N}$个未知广义座标与${\displaystyle n}$个拉格朗日乘子。

非完整系统至少存在于以下三个状况：