非完整系统

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:05:14 #力学,经典力学,拉格朗日力学,哈密顿力学,物理学系统

在古典力学里,假如,一个系统有任何约束是非完整约束,则称此系统为非完整系统。非完整约束不是完整约束。完整约束可以用方程式表示为

这里, f {\displaystyle f} 是每一个粒子 P i {\displaystyle P_{i}} 之位置 x i {\displaystyle x_{i}} 和时间 t {\displaystyle t} 的函数。非完整约束不能够用上述方程式表示。

完整约束方程式与位置、时间有关,与速度无关。完整约束方程式可以很简易地除去指定的变数。假设变数 x d {\displaystyle x_{d}} 是完整约束函数 f k {\displaystyle f_{k}} 里的一个参数,现在指定除去 x d {\displaystyle x_{d}} 。重新编排上述约束方程式,求出表示 x d {\displaystyle x_{d}} 的函数 g k {\displaystyle g_{k}}

将函数 g k {\displaystyle g_{k}} 代入所有提到 x d {\displaystyle x_{d}} 的方程式。这样,可以除去所有指定变数 x d {\displaystyle x_{d}}

假设一个物理系统原本的自由度是 N {\displaystyle N} 。现在,将 h {\displaystyle h} 个完整约束作用于此系统。那么,这系统的自由度减少为 m = N h {\displaystyle m=N-h} 。可以用 m {\displaystyle m} 个独立广义座标 ( q 1 ,   q 2 ,   ,   q m ) {\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})} 来完全描述这系统的运动。座标的转换方程式可以表示如下:

换句话说,由于非完整约束无法依照上述方法,来除去其所含广义座标,完全描述非完整系统,所需要的广义座标数目,大于自由度。

约束有时可以用微分形式的约束方程式来表示。思考第 i {\displaystyle i} 个约束的微分形式的约束方程式:

这里, c i j {\displaystyle c_{ij}} c i {\displaystyle c_{i}} 分别为微分 d q j {\displaystyle dq_{j}} d t {\displaystyle dt} 的系数。

假若此约束方程式是可积分的。也就是说,有一个函数 f i ( q 1 ,   q 2 ,   q 3 ,   ,   q N ,   t ) = 0 {\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0} 的全微分满足下述等式:

那么,此约束是完整约束;否则,此约束是非完整约束。因此,所有的完整约束与某些非完整约束可以用微分形式的方程式来表示。不是所有的非完整约束都可以这样表示。含有广义速度的非完整约束就不能这样表示。所以,假若知道一个约束的微分形式的约束方程式,这约束到底是完整约束,还是非完整约束,需要看微分形式的约束方程式能否积分来决定。

表示非完整约束的方程式往往比较复杂。因此,非完整系统也比较难分析,只有简易一点的非完整系统能用形式论来分析。假如,一个非完整系统的约束可以用以下方程式表示:

则称此系统为半完整系统;这里, q ˙ j {\displaystyle {\dot {q}}_{j}} 是广义速度。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说,分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子 λ i {\displaystyle \lambda _{i}}

这里, λ i = λ i ( q 1 ,   q 2 ,   ,   q N ,   q ˙ 1 ,   q ˙ 2 ,   ,   q ˙ N ,   t ) {\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)} 是未知函数。

假设哈密顿原理成立,则下述方程式成立:

这里, L {\displaystyle L} 是拉格朗日量, t 1 {\displaystyle t_{1}} t 2 {\displaystyle t_{2}} 分别为积分的时间下限与上限。经过变分法运算,可以得到方程式

由于这 N {\displaystyle N} 个广义座标中,仍旧有 n {\displaystyle n} 个不独立广义座标,不能将拉格朗日方程式提取出来;必须加入拉格朗日乘子项目:

经过变分法运算,可以得到方程式

这里, F j {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}} 是广义力的 j {\displaystyle j} 分量:

虽然还有 n {\displaystyle n} 个不独立广义座标,仍旧可以调整 n {\displaystyle n} 加入的拉格朗日乘子,使总和公式内的每一个虚位移 δ q j {\displaystyle \delta q_{j}} 的系数都等于0。因此,

N {\displaystyle N} 个方程式加上 n {\displaystyle n} 个约束方程式,给予了 N + n {\displaystyle N+n} 个方程式来解 N {\displaystyle N} 个未知广义座标与 n {\displaystyle n} 个拉格朗日乘子。

非完整系统至少存在于以下三个状况:

相关

  • 李德尔氏综合征李德尔氏综合征(Liddle's syndrome、假性醛固酮增多症)是常染色体显性遗传(Dominance (genetics))疾病、特征在于早期频繁严重的高血压,以及与低血浆肾素活性、代谢性碱中毒(
  • 阅读框架阅读框架(英语:Reading Frame)在分子生物学中是指将mRNA的碱基序列划分成连续、互不重叠的三元组的方式或这样的划分方式在相应DNA上的对应。这样的三元组称为密码子。每个密码
  • 米奇·丹尼尔斯小米切尔·伊莱亚斯·“米奇”·丹尼尔斯(Mitchell Elias "Mitch" Daniels, Jr.,1949年4月7日),美国政治家,美国共和党成员,前印第安纳州州长(2005年至2013年),现任普渡大学校长。
  • 实名制网络实名制是在一些国家和地区实行的法规, 顾名思义,此法规就是要求所有使用网络及服务的人或群体必须要以真实姓名出现或登记。最早实施网络实名制的国家为南韩,如今网络实名
  • 世界粮食会议第一次的世界粮食大会是由联合国粮食及农业组织(FAO)主持于1974年在罗马举行。在此次的会议上,当时的美国国务卿亨利·季辛吉表示在10年内将会没有孩子会饿著肚子上床睡觉。这
  • 五台片五台片是晋语的八个片之一。主要分布在山西省北部雁门关以南,以及陕西省北部的部分地区。五台片的共同特征是只有一个入声声调,阴平与上声调值相同。太原市下辖的阳曲县一般也
  • 北方工业大学北方工业大学(英语:North China University of Technology),简称:北方工大、NCUT,原名北京冶金机电学院。学校前身是创办于1946年的国立北平高级工业职业学校,以后几经变迁,1978年经
  • 海豹号潜艇巴劳鱵级潜艇(Balao class submarine)是美国海军在二次大战时代所建造操作过的一个潜艇船级,是猫鲨级(Gato class)的改进型,由于其出色设计一共建造了120艘同级舰,成为美国历史上建
  • 魔神仔魔神仔(白话字:Mô͘-sîn-á、台罗:môo-sîn-á),是在台湾与福建广泛流传的民间传说中,一种诱导人类到山野间迷失的鬼或者精怪。民俗及人类学研究者根据田野调查采访,普遍认为其
  • 奈季兰省coordinates奈季兰省(阿拉伯语:منطقة نجران‎)是沙特阿拉伯南部的一个省,南邻也门。该省有40万人口信仰什叶派伊斯玛仪支派。