1 − 2 + 4 − 8 + …

在数学中，1 − 2 + 4 − 8 + …是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂而加减号则是交错地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项，-2为公比。

作为实数级数，它发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下，这一级数有一个广义的和为⅓。

戈特弗里德·莱布尼茨于1673年已经细想过1 − 2 + 4 − 8 + …这个交替的发散级数。他认为经过从右边或左边相减，分别可以得到正无限及负无限，所以两个答案都是错的，而整个级数必为有限：

莱布尼兹并不是非常肯定这个级数有，但是他根据墨卡托方法推测它和⅓有关系。 在十八世纪，“一个数项级数的和可能等于一个并不是其逐项叠加的结果的有限数”是一个十分普通的观点，尽管现代数学观点同当时的观点并没有任何分别。

当克里斯提安·沃尔夫在1712年阅读了莱布尼兹对格兰迪级数的解法后， 他对此解法非常满意，并设法通过这种方法去寻求更多解决发散级数问题的数学方法（如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …）。简明地说,如果某人以倒数第二项的函数来表示级数的部分和的话，他得到的结果会是${\displaystyle \frac{4m+1}{3}}$ = ，讨论到无限后就得到了级数和是 ⅓ 。莱布尼兹的直觉在这时让他避免了在沃尔夫的解法上费力气。他给沃尔夫回信，说他的解法有点意思，但是因几个原因而无效。 相邻的两个部分和并不收敛到任何一个特定值上，同时在任何有限条件下都有 = 2，而不是 = 。总之，可求和级数的项最终都应收敛到零；即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成这种级数的极限。莱布尼兹劝沃尔夫再好好考虑一下，认为他说不定“可以搞出一些于他于科学都有价值的东西。”

任何具有规律性、线性和稳定性的求和方法都能对等比数列（几何级数）求和

在这种情况下 = 1 且 = −2，所以级数和是 ⅓。

在他1755年的《Institutiones》上，莱昂哈德·欧拉采用了现在被称为欧拉变换的方式处理1 − 2 + 4 − 8 + …，得到了收敛级数½ − ¼ + ⅛ − 1/₁₆ + …。因为后者的和为⅓，欧拉得出结论，认为1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓。他对于无穷级数的看法不太遵循现代方法。如今，我们称1 − 2 + 4 − 8 + …是欧拉可求和，其欧拉和是⅓。

欧拉变换以正项序列开始：

而前向差分序列是

这一序列与上一序列正好相同。因此对于每一，迭代前向差分序列均以Δ₀ = 1开始。级数的欧拉变换如下：

上述级数是一收敛等比级数，按常规求和公式得出其和为⅓。

1 − 2 + 4 − 8 + … 的博雷尔和也是 ⅓；博雷尔于1896年介绍了博雷尔和极限的公式，这是他在关于1 − 1 + 1 − 1 + …后的首个实例之一。