布朗运动

布朗运动（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。它是在公元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子越大，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10-8厘米。自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。一般而言，花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm（非球形，故依部位而有些许差异。），略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。在日本，以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞，岩波书店‘岩波理科辞典’、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论（上）’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中，点出此误谬之前，鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’（1970年）时，实际摄影漂浮在水中之花粉，却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月，以“外行人与专家之间”为题，解说有关布朗运动之误会。在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程式，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦可决定原子的大小，一莫耳有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（ Δ {displaystyle Delta } 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 φ ( Δ ) {displaystyle varphi (Delta )} 。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。第一行中的第二个等式是被 φ {displaystyle varphi } 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 Δ {displaystyle Delta } ，让 D 为质量扩散系数：那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动( M t ) {displaystyle (M_{t})} 是一个布朗运动当且仅当 ( M t ) {displaystyle (M_{t})} 为鞅，且 ( M t 2 − t ) {displaystyle (M_{t}^{2}-t)} 也为鞅.一维的定义一维布朗运动 ( B t ) t ≥ 0 {displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}} 是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：等价定义一维布朗运动 ( B t ) t ≥ 0 {displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}} 是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：高维定义换句话说，d维布朗运动 取值于 R d {displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{d}} ，而它在 R , R 2 , . . . , R d − 1 {displaystyle scriptstyle mathbb {R} ,mathbb {R} ^{2},...,mathbb {R} ^{d-1}} 空间上的投影均为布朗运动。Wiener测度的定义设 C ( R + , R ) {displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )} 为从 R + {displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{+}} 到 R {displaystyle scriptstyle mathbb {R} } 的连续函数空间， ( Ω , T , P ) {displaystyle scriptstyle (Omega ,{mathcal {T}},mathbb {P} )} 为概率空间。布朗运动为映射Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为 W ( d ω ) {displaystyle scriptstyle W(domega )} ,是映射B关于 P ( d ω ) {displaystyle scriptstyle mathbb {P} (domega )} 的图测度。换句话说， W是 C ( R + , R ) {displaystyle scriptstyle {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )} 上的一个概率测度，满足对于任何 A ⊂ C ( R + , R ) {displaystyle scriptstyle Asubset {mathcal {C}}(mathbb {R} ^{+},mathbb {R} )} ，有备忘设 ( f t ) t ∈ R + {displaystyle (f_{t})_{tin {mathbb {R} }_{+}}} 为 L 2 ( R + ) {displaystyle L^{2}({mathbb {R} }_{+})} 空间中一列实值函数。设：这列函数满足：∀ k ∈ N ∗ {displaystyle forall kin mathbb {N} ^{*}} ，任意的 t 1 , . . . , t k ∈ R + {displaystyle t_{1},...,t_{k}in mathbb {R} _{+}} ,矩阵 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {displaystyle left(s(t_{i},t_{j})right)_{1leq i,jleq k}} 为对称半正定的。利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程 { Y t } t ∈ R + {displaystyle {Y_{t}}_{tin mathbb {R} _{+}}} ，它的均值 m {displaystyle m} 任意， 协方差为上面定义的 s {displaystyle s} 。当 ( f t ) t ∈ R + = ( c .1 1 [ 0 , t ] ) t ∈ R + {displaystyle (f_{t})_{tin {mathbb {R} }_{+}}=left({sqrt {c}}.1!!1_{}right)_{tin mathbb {R} _{+}}} ， c > 0 {displaystyle c>0} 为不依赖于t的常数， 1 1 [ 0 , t ] {displaystyle 1!!1_{}} 为 [ 0 , t ] {displaystyle } 上的示性函数。则：在这个情况下，矩阵 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {displaystyle left(s(t_{i},t_{j})right)_{1leq i,jleq k}} 是对称且正定的。我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。 c = V a r ( B 1 ) {displaystyle c=Var(B_{1})} ，当 c = 1 {displaystyle c=1} 时， 称之为 标准的布朗运动.Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。设2列独立的正态 N ( 0 , 1 ) {displaystyle scriptstyle {mathcal {N}}(0,1)} 随机变量序列 ( N k , k ∈ N ) {displaystyle scriptstyle (N_{k},kin mathbb {N} )} 和 ( N k ′ , k ∈ N ) {displaystyle scriptstyle (N'_{k},kin mathbb {N} )} 。定义 ( B t ) t ≥ 0 {displaystyle scriptstyle (B_{t})_{tgeq 0}} ：为布朗运动。https://web.archive.org/web/20171109201456/http://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion