亥姆霍兹方程

✍ dations ◷ 2025-07-01 13:03:40 #振动和波,方程,椭圆型偏微分方程

亥姆霍兹方程(英语:Helmholtz equation)是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程,以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。其基本形式如下:

其中 ∇2 是拉普拉斯算子, 是波数, 是振幅。

亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。例如,考虑波动方程:

在假定 (r, ) 是可分离变量情况下分离变量得:

将此形式代入波动方程,化简得到下列方程:

注意左边的表达式只取决于 r,而右边的表达式只取决于 。其结果是,当且仅当等式两边都等于恒定值时,该方程在一般情况下成立。从这一观察中,可以得到两个方程,一个是对 (r) 的,另一个是对 () 的:

在不失一般性的情况下,选择 −2 这个表达式作为这个常值。(使用任何常数 作为分离常数都同样有效;选择 −2 只是为了求解方便。)

调整第一个方程,可以得到亥姆霍兹方程:

同样,在用

进行代换之后,第二个方程成为

其中 是分离常数波数, 是角频率。注意到现在有了空间变量 x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} 的亥姆霍兹方程和一个二阶时间常微分方程。时间解是一个正弦和余弦函数的线性组合,而空间解的形式依赖于具体问题的边界条件。经常可以使用拉普拉斯变换或者傅立叶变换这样的积分变换将双曲的偏微分方程转化为亥姆霍兹方程的形式。

因为它和波动方程的关系,亥姆霍兹方程在物理学中电磁辐射、地震学和声学等相关研究领域里有着广泛应用。

相关

  • 圣玛丽亚港圣玛丽亚港(西班牙语:El Puerto de Santa María)是西班牙安达卢西亚自治区加的斯省的一座城市,位于瓜达莱特河畔。根据荷马的奥德赛史诗,在特洛伊战争后,一位名叫米奈斯休斯(英语:M
  • 少突胶质细胞寡突胶质细胞(Oligodendrocyte)是一种神经胶质细胞,最早由西班牙医学家皮奥·戴尔·里奥·霍尔特加(英语:Pío del Río Hortega)于1921年报导。寡突胶质细胞的主要功能是在中枢神
  • 约翰·潘兴约翰·约瑟夫·潘兴(英语:John J. Pershing,1860年9月13日-1948年6月15日),第一次世界大战时任美国远征军总司令(1917-1918)、军事家、陆军特级上将(General of the Armies)。潘兴在第
  • 禁中并公家诸法度禁中并公家诸法度是江戸幕府确立它与天皇和公家关系的法律,共有17条。也称为禁中并公家中诸法度、禁中并公家诸法度或禁中方御条目等。禁中并公家诸法度是德川家康命令金地院
  • 黄叔璥黄叔璥(1682年-1758年),字玉圃,号笃斋,顺天府大兴县人(今属北京),清朝政治人物,康熙己丑进士。为首任巡台御史。其所著之《台海使槎录》、《南征纪程》等书对于闽南、台湾文化的研究具
  • 苗语支苗语支是组成苗瑶语系的两个语支之一。分布于中国的广西、云南、贵州、广东、四川、湖南,以及中南半岛的越南、老挝、泰国、缅甸的北部。说苗语支语言的人大约650万人。苗语
  • 利奥波德二世 (神圣罗马帝国)利奥波德二世(Leopold II,1747年5月5日-1792年3月1日),哈布斯堡-洛林王朝的神圣罗马帝国倒数第二任皇帝(1790年-1792年在位),匈牙利和波希米亚国王。他也是奥地利统治下的意大利的
  • 岛屿包装者岛屿包装者 Island Packers,美国海峡群岛国家公园的特约商,定期有船班从文图拉前往国家公园的五座岛屿。有时候还会在特定季节有赏鲸船的船班。游客除了做轻型飞机和搭自己私
  • 吉娜·卡拉诺吉娜·乔伊·卡拉诺(英语:Gina Joy Carano,1982年4月16日-)是一位意大利裔美国女演员,也是一位女性武术家。她于2012年和英国知名演员亨利·卡维尔交往,现已分手。
  • 百奇与百力滋日百奇与百力滋日(日语:ポッキー&プリッツの日 )是江崎固力果在平成11年11月11日(公元1999年11月11日)创建,并在每年11月11日举行的纪念日。百奇与百力滋的形状类似数字1,故纪念日选