达朗贝尔方程

在经典电动力学中，将描述电磁波的势所满足的一个微分方程组称作达朗贝尔方程（英文：d'Alembert equation）。达朗贝尔方程是一个非齐次（英语：Homogeneity and heterogeneity）的波动方程。

达朗贝尔方程的形式如下：

其中${\displaystyle \mathit{A}}$为磁矢势，${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$为电势，${\displaystyle c}$为真空光速。

经典电动力学中的麦克斯韦方程组如下所示

且有${\displaystyle \mathit{D}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\mathit{E},\mathit{B}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0\mathit{H}}$。

由${\displaystyle \mathit{B}}$的无源性可以引入磁矢势${\displaystyle \mathit{A}}$，有${\displaystyle \mathit{B}=\mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathit{A}}$，代入麦克斯韦方程组的第一式得${\displaystyle \mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(\mathit{E}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)=0}$。这说明矢量${\displaystyle \mathit{E}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}$是无旋场，可以用标量势${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$的负梯度描述：

也即${\displaystyle \mathit{E}=-<!--\; -\; -->\mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}$。

因此

而${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0=\frac{1}{c^2}}$，代入并整理得

采用洛伦茨规范，即${\displaystyle \mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0}$，可得

此即达朗贝尔方程，其自由项为电流密度和电荷密度。