达朗贝尔方程

✍ dations ◷ 2025-10-22 05:45:16 #电磁学

在经典电动力学中,将描述电磁波的势所满足的一个微分方程组称作达朗贝尔方程(英文:d'Alembert equation)。达朗贝尔方程是一个非齐次(英语:Homogeneity and heterogeneity)的波动方程。

达朗贝尔方程的形式如下:

其中 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} 为磁矢势, φ {\displaystyle \varphi } 为电势, c {\displaystyle c} 为真空光速。

经典电动力学中的麦克斯韦方程组如下所示

且有 D = ε 0 E , B = μ 0 H {\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {H}}}

B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} 的无源性可以引入磁矢势 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} ,有 B = × A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}} ,代入麦克斯韦方程组的第一式得 × ( E + A t ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\right)=0} 。这说明矢量 E + A t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}} 是无旋场,可以用标量势 φ {\displaystyle \varphi } 的负梯度描述:

也即 E = φ A t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}}

因此

μ 0 ε 0 = 1 c 2 {\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}} ,代入并整理得

采用洛伦茨规范,即 A + 1 c 2 φ t = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0} ,可得

此即达朗贝尔方程,其自由项为电流密度和电荷密度。

相关

  • 泰诺泰诺(英语:Tylenol,/ˈtaɪlənɒl/)是一个镇痛药药品品牌,该药品可以减缓发热和减轻过敏、感冒、咳嗽、头痛和感冒等症状。泰诺最初的有效成分是对乙酰氨基酚,常见于镇痛药和解热
  • 国家 (消歧义)国家,可能是以下几个名词的汉译:此外,国家还可以指:
  • 驻日盟军司令部驻日盟军总司令(日语:連合国軍最高司令官総司令部/れんごうこくぐんさいこうしれいかんそうしれいぶ Rengō kokugun saikō shirei-kan sō shirei-bu;英语:Supreme Commander
  • Stenton, Frank弗兰克·梅利·斯坦顿爵士(Sir Frank Merry Stenton,1880年5月17日-1967年9月15日) 是一位研究盎格鲁-撒克逊英格兰的英国历史学家,1937至1945年间任皇家历史学会会长。 是《牛
  • 奥托·弗里施奥托·弗里施(德语:Otto Frisch,皇家学会会士, 1904年10月1日-1979年9月22日),奥地利-英国物理学家,1940年与鲁道夫·佩尔斯合作设计出原子弹爆炸的理论架构。
  • 台湾牛肉面台湾牛肉面,是红烧牛肉面最早发迹处,起源是国民政府迁台后外省人在台湾所创造的美食,起因渡海来台的老兵思念家乡而制作。有学者认为是受四川成都菜“小碗红汤牛肉”启发所创新
  • 海豹猎捕海豹猎捕(英语:Seal hunting 或 Sealing;法语:Chasse aux phoques;因纽特语:Nattirhiurtuq)是指人类出于生活需求或商业利益而猎捕海豹(true seals)与海狗(fur seals)的行为。现今的猎
  • 五彩纸屑糖果五彩纸屑糖果(英语:Confetti candy)是一种用煮熟的糖和玉米糖浆制成的糖果食品,其形成片状,冷却后破碎成块。它具有坚硬和脆性质地;五彩纸屑糖果有时在烹饪后洒在顶上,而成型过程完
  • 曼素子·王阿訇曼素子·王阿訇(俄语:Манзус Ванахун,曼素子又译为满素孜、满苏子等,1902年9月23日-1943年7月5日),东干族苏联士兵,参与了苏德战争,1943年在战场上阵亡,同年被追授苏联英
  • 电现象电现象是关于电的物理现象,例如人类熟知的闪电就是自然界中的一种放电现象。此外,随着电学的发展,人们还认识到了摩擦起电、静电感应、电磁感应、压电效应等各种电现象。早在公