鞍点

一个不是局部极值点的驻点称为鞍点。广义而说，一个光滑函数（曲线，曲面，或超曲面）的鞍点邻域的曲线，曲面，或超曲面，都位于这点的切线的不同边。参考右图，鞍点这词语来自于不定二次型 x 2 − y 2 {displaystyle x^{2}-y^{2},} 的二维图形，像个马鞍：在x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲。检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的黑塞矩阵：如果该矩阵为一不定矩阵，则该点就是鞍点。例如，函数 z = x 2 − y 2 {displaystyle z=x^{2}-y^{2}} 在驻点 ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} 的黑塞矩阵是：我们可以看到此矩阵有两个特征值2，－2。它的行列式小于0，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数 z = x 4 − y 4 , {displaystyle z=x^{4}-y^{4},} 点 ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} 是一个鞍点，但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵，并不小于0。如右图，一维鞍点看起来并不像马鞍！在一维空间里，鞍点是驻点·也是反曲点。因为函数图形在鞍点由凸转凹，或由凹转凸，鞍点不是区域性极点。思考一个只有一个变数的函数。这函数在鞍点的一次导数等于零，二次导数换正负符号·例如，函数 y = x 3 {displaystyle y=x^{3},} 就有一个鞍点在原点。思考一个拥有两个以上变数的函数。它的曲面在鞍点好像一个马鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高线图里，一般来说，当两个等高线圈圈相交叉的地点，就是鞍点。例如，两座山中间的山口就是一个鞍点。