分离变量法

✍ dations ◷ 2025-07-04 08:55:54 #微分方程,偏微分方程

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数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以藉代数来将方程重新编排，让方程的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。

假若，一个常微分方程可以写为

设定变量 $y=f(x)$ $y = f(x)$ 。那么，

只要是 $h(y)\neq 0$ $h(y)\neq 0$ ，就可以将方程两边都除以 $h(y)$ $h(y)$ ，再都乘以 $d x {\displaystyle dx}$ $dx$ ：

这样，可以将两个变量 $x {\displaystyle x}$ $x$ ， $y {\displaystyle y}$ $y$ 分离到方程的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 $k {\displaystyle k}$ $k$ 。因此，可以得到两个较易解的常微分方程；

有些不喜欢用莱布尼茨标记（英语：Leibniz's notation）的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变量法？

随着 $x {\displaystyle x}$ $x$ 积分公式的两边，可以得到

应用变量积分法，

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 ${\frac {dy}{dx}}$ $\frac{dy}{dx}$ 当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释，

常微分方程 ${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$ ${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$ 可以写为

其中， $y=f(x)$ $y=f(x)$ 。

设定 $g(x)=1$ $g(x)=1$ ， $h(y)=y(1-y)$ $h(y)=y(1-y)$ 。套用公式 (1) ，这常微分方程是可分的。

进一步编排，则

变量 $x {\displaystyle x}$ $x$ ， $y {\displaystyle y}$ $y$ 分别在公式的两边。将两边积分，

积分的结果是

其中， $C {\displaystyle C}$ $C$ 是个积分常数。稍加运算，则可得

在这里，检查此解答的正确与否。计算导数 ${\frac {dy}{dx}}$ $\frac{dy}{dx}$ 。答案应该与原本的问题相同。（必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值，分别地造成了 $B {\displaystyle B}$ $B$ 的正值与负值。而当 $y=1$ $y=1$ 时， $B=0$ $B=0$ ）。

特别注意，由于将公式 (3) 的两边除以 $y {\displaystyle y}$ $y$ 跟 $(1-y)$ $(1-y)$ ，必须检查两个函数 $y(x)=0$ $y(x)=0$ 与 $y(x)=1$ $y(x)=1$ 是否也是常微分方程的解答（在这个例子里，它们都是解答）。参阅奇异解（英语：singular solution）。

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

其中， $P {\displaystyle P}$ $P$ 是人口数值函数， $t {\displaystyle t}$ $t$ 是时间参数， $k {\displaystyle k}$ $k$ 是成长的速率， $K {\displaystyle K}$ $K$ 环境的容纳能力。

将方程的两边都除以 $P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ $P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ ．再随着时间 $t {\displaystyle t}$ $t$ 积分，

应用变量积分法，

稍微运算，则可得

其中， $A {\displaystyle A}$ $A$ 是常数。

给予一个 $n {\displaystyle n}$ $n$ 元函数 $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ 的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为

或者

时常，对于每一个自变量 $x_{i}$ $x_{i}$ ，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

假若，函数 $F(x,\ y,\ z)$ $F(x,\ y,\ z)$ 的偏微分方程为

猜想解答为

那么，

因为 $X(x)$ $X(x)$ 只含有 $x {\displaystyle x}$ $x$ 、 $Y(y)$ $Y(y)$ 只含有 $y {\displaystyle y}$ $y$ 、 $Z(z)$ $Z(z)$ 只含有 $z {\displaystyle z}$ $z$ ，这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说，将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程：

其中， $c_{1},\ c_{2},\ c_{3}$ $c_{1},\ c_{2},\ c_{3}$ 都是常数， $c_{1}+c_{2}+c_{3}=0$ $c_{1}+c_{2}+c_{3}=0$ 。

偏微分方程的答案为

其中， $c_{4}$ $c_{4}$ 是常数。

思考一个典型的偏微分方程，

首先，猜想答案的形式为

代入偏微分方程，

或者，用单撇号标记，

将方程的两边除以 $X(x)Y(y)$ $X(x)Y(y)$ ，则可得

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 $k {\displaystyle k}$ $k$ ：

因此，可以得到两个新的常微分方程：

这两个常微分方程都是齐次的二阶线性微分方程。假若， $k<0<\lambda +k$ $k<0<\lambda +k$ ，则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程。解答为

其中， $A_{x},\ A_{y}$ $A_{x},\ A_{y}$ 是振幅常数， $B_{x},\ B_{y}$ $B_{x},\ B_{y}$ 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

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