分离变量法

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数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以藉代数来将方程重新编排，让方程的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。

假若，一个常微分方程可以写为

设定变量 ${\displaystyle y=f(x)}$ 。那么，

只要是 ${\displaystyle h(y)\ne <!--\; \ne \; -->0}$ ，就可以将方程两边都除以 ${\displaystyle h(y)}$ ，再都乘以 ${\displaystyle dx}$ ：

这样，可以将两个变量 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ 分离到方程的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 ${\displaystyle k}$ 。因此，可以得到两个较易解的常微分方程；

有些不喜欢用莱布尼茨标记（英语：Leibniz's notation）的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变量法？

随着 ${\displaystyle x}$ 积分公式的两边，可以得到

应用变量积分法，

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释，

常微分方程 ${\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1-<!--\; -\; -->f(x))}$ 可以写为

其中，${\displaystyle y=f(x)}$ 。

设定 ${\displaystyle g(x)=1}$ ，${\displaystyle h(y)=y(1-<!--\; -\; -->y)}$ 。套用公式 (1) ，这常微分方程是可分的。

进一步编排，则

变量 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ 分别在公式的两边。将两边积分，

积分的结果是

其中，${\displaystyle C}$ 是个积分常数。稍加运算，则可得

在这里，检查此解答的正确与否。计算导数 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 。答案应该与原本的问题相同。（必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值，分别地造成了 ${\displaystyle B}$ 的正值与负值。而当 ${\displaystyle y=1}$ 时，${\displaystyle B=0}$ ）。

特别注意，由于将公式 (3) 的两边除以 ${\displaystyle y}$ 跟 ${\displaystyle (1-<!--\; -\; -->y)}$ ，必须检查两个函数 ${\displaystyle y(x)=0}$ 与 ${\displaystyle y(x)=1}$ 是否也是常微分方程的解答（在这个例子里，它们都是解答）。参阅奇异解（英语：singular solution） 。

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

其中，${\displaystyle P}$ 是人口数值函数，${\displaystyle t}$ 是时间参数， ${\displaystyle k}$ 是成长的速率，${\displaystyle K}$ 环境的容纳能力。

将方程的两边都除以${\displaystyle P\left(1-<!--\; -\; -->\frac{P}{K}\right)}$ ．再随着时间 ${\displaystyle t}$ 积分，

应用变量积分法，

稍微运算，则可得

其中，${\displaystyle A}$ 是常数。

给予一个 ${\displaystyle n}$ 元函数 ${\displaystyle F(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}$ 的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为

或者

时常，对于每一个自变量 ${\displaystyle x_i}$ ，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

假若，函数 ${\displaystyle F(x,y,z)}$ 的偏微分方程为

猜想解答为

那么，

因为 ${\displaystyle X(x)}$ 只含有 ${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle Y(y)}$ 只含有 ${\displaystyle y}$ 、${\displaystyle Z(z)}$ 只含有 ${\displaystyle z}$ ，这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说，将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程：

其中，${\displaystyle c_1,c_2,c_3}$ 都是常数，${\displaystyle c_1+c_2+c_3=0}$ 。

偏微分方程的答案为

其中，${\displaystyle c_4}$ 是常数。

思考一个典型的偏微分方程，

首先，猜想答案的形式为

代入偏微分方程，

或者，用单撇号标记，

将方程的两边除以 ${\displaystyle X(x)Y(y)}$ ，则可得

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 ${\displaystyle k}$ ：

因此，可以得到两个新的常微分方程：

这两个常微分方程都是齐次的二阶线性微分方程。假若， ，则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程。解答为

其中，${\displaystyle A_x,A_y}$ 是振幅常数，${\displaystyle B_x,B_y}$ 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。