分离变量法

✍ dations ◷ 2025-04-02 12:12:16 #微分方程,偏微分方程

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数学上,分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法,可以藉代数来将方程重新编排,让方程的一部分只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和等于零。

假若,一个常微分方程可以写为

设定变量 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 。那么,

只要是 h ( y ) 0 {\displaystyle h(y)\neq 0} ,就可以将方程两边都除以 h ( y ) {\displaystyle h(y)} ,再都乘以 d x {\displaystyle dx}

这样,可以将两个变量 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} 分离到方程的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数 k {\displaystyle k} 。因此,可以得到两个较易解的常微分方程;

有些不喜欢用莱布尼茨标记(英语:Leibniz's notation)的数学家,或许会选择将公式 (1) 写为

这写法有一个问题:无法比较明显的解释,为什么这方法叫作分离变量法?

随着 x {\displaystyle x} 积分公式的两边,可以得到

应用变量积分法,

假如,可以求算这两个积分,则这常微分方程有解。这方法允许将导数 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} 当做可分的分式看待,可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释,

常微分方程 d d x f ( x ) = f ( x ) ( 1 f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))} 可以写为

其中, y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}

设定 g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} h ( y ) = y ( 1 y ) {\displaystyle h(y)=y(1-y)} 。套用公式 (1) ,这常微分方程是可分的。

进一步编排,则

变量 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} 分别在公式的两边。将两边积分,

积分的结果是

其中, C {\displaystyle C} 是个积分常数。稍加运算,则可得

在这里,检查此解答的正确与否。计算导数 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} 。答案应该与原本的问题相同。(必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值,分别地造成了 B {\displaystyle B} 的正值与负值。而当 y = 1 {\displaystyle y=1} 时, B = 0 {\displaystyle B=0} )。

特别注意,由于将公式 (3) 的两边除以 y {\displaystyle y} ( 1 y ) {\displaystyle (1-y)} ,必须检查两个函数 y ( x ) = 0 {\displaystyle y(x)=0} y ( x ) = 1 {\displaystyle y(x)=1} 是否也是常微分方程的解答(在这个例子里,它们都是解答)。参阅奇异解(英语:singular solution) 。

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

其中, P {\displaystyle P} 是人口数值函数, t {\displaystyle t} 是时间参数, k {\displaystyle k} 是成长的速率, K {\displaystyle K} 环境的容纳能力。

将方程的两边都除以 P ( 1 P K ) {\displaystyle P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)} .再随着时间 t {\displaystyle t} 积分,

应用变量积分法,

稍微运算,则可得

其中, A {\displaystyle A} 是常数。

给予一个 n {\displaystyle n} 元函数 F ( x 1 ,   x 2 ,   ,   x n ) {\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})} 的偏微分方程,有时候,为了将问题的偏微分方程改变为一组常微分方程,可以猜想一个解答;解答的形式为

或者

时常,对于每一个自变量 x i {\displaystyle x_{i}} ,都会伴随着一个分离常数。如果,这个方法成功,则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

假若,函数 F ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle F(x,\ y,\ z)} 的偏微分方程为

猜想解答为

那么,

因为 X ( x ) {\displaystyle X(x)} 只含有 x {\displaystyle x} Y ( y ) {\displaystyle Y(y)} 只含有 y {\displaystyle y} Z ( z ) {\displaystyle Z(z)} 只含有 z {\displaystyle z} ,这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说,将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程:

其中, c 1 ,   c 2 ,   c 3 {\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}} 都是常数, c 1 + c 2 + c 3 = 0 {\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0}

偏微分方程的答案为

其中, c 4 {\displaystyle c_{4}} 是常数。

思考一个典型的偏微分方程,

首先,猜想答案的形式为

代入偏微分方程,

或者,用单撇号标记,

将方程的两边除以 X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle X(x)Y(y)} ,则可得

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数 k {\displaystyle k}

因此,可以得到两个新的常微分方程:

这两个常微分方程都是齐次的二阶线性微分方程。假若, k < 0 < λ + k {\displaystyle k<0<\lambda +k} ,则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程。解答为

其中, A x ,   A y {\displaystyle A_{x},\ A_{y}} 是振幅常数, B x ,   B y {\displaystyle B_{x},\ B_{y}} 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

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