分离变量法

✍ dations ◷ 2025-04-04 20:21:02 #微分方程,偏微分方程

牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯 · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅（英语：Eduard Heine） · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 约翰·伯努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama） · 婆什迦罗第二 · 阿涅西 · 阿基米德

从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes） · 分析学教程（英语：Cours d'Analyse） · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas） · 流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)） · 微积分学教程 · 纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics） · 机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）

数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以藉代数来将方程重新编排，让方程的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。

假若，一个常微分方程可以写为

设定变量 $y=f(x)$ $y = f(x)$ 。那么，

只要是 $h(y)\neq 0$ $h(y)\neq 0$ ，就可以将方程两边都除以 $h(y)$ $h(y)$ ，再都乘以 $d x {\displaystyle dx}$ $dx$ ：

这样，可以将两个变量 $x {\displaystyle x}$ $x$ ， $y {\displaystyle y}$ $y$ 分离到方程的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 $k {\displaystyle k}$ $k$ 。因此，可以得到两个较易解的常微分方程；

有些不喜欢用莱布尼茨标记（英语：Leibniz's notation）的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变量法？

随着 $x {\displaystyle x}$ $x$ 积分公式的两边，可以得到

应用变量积分法，

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 ${\frac {dy}{dx}}$ $\frac{dy}{dx}$ 当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释，

常微分方程 ${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$ ${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$ 可以写为

其中， $y=f(x)$ $y=f(x)$ 。

设定 $g(x)=1$ $g(x)=1$ ， $h(y)=y(1-y)$ $h(y)=y(1-y)$ 。套用公式 (1) ，这常微分方程是可分的。

进一步编排，则

变量 $x {\displaystyle x}$ $x$ ， $y {\displaystyle y}$ $y$ 分别在公式的两边。将两边积分，

积分的结果是

其中， $C {\displaystyle C}$ $C$ 是个积分常数。稍加运算，则可得

在这里，检查此解答的正确与否。计算导数 ${\frac {dy}{dx}}$ $\frac{dy}{dx}$ 。答案应该与原本的问题相同。（必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值，分别地造成了 $B {\displaystyle B}$ $B$ 的正值与负值。而当 $y=1$ $y=1$ 时， $B=0$ $B=0$ ）。

特别注意，由于将公式 (3) 的两边除以 $y {\displaystyle y}$ $y$ 跟 $(1-y)$ $(1-y)$ ，必须检查两个函数 $y(x)=0$ $y(x)=0$ 与 $y(x)=1$ $y(x)=1$ 是否也是常微分方程的解答（在这个例子里，它们都是解答）。参阅奇异解（英语：singular solution）。

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

其中， $P {\displaystyle P}$ $P$ 是人口数值函数， $t {\displaystyle t}$ $t$ 是时间参数， $k {\displaystyle k}$ $k$ 是成长的速率， $K {\displaystyle K}$ $K$ 环境的容纳能力。

将方程的两边都除以 $P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ $P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ ．再随着时间 $t {\displaystyle t}$ $t$ 积分，

应用变量积分法，

稍微运算，则可得

其中， $A {\displaystyle A}$ $A$ 是常数。

给予一个 $n {\displaystyle n}$ $n$ 元函数 $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ 的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为

或者

时常，对于每一个自变量 $x_{i}$ $x_{i}$ ，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

假若，函数 $F(x,\ y,\ z)$ $F(x,\ y,\ z)$ 的偏微分方程为

猜想解答为

那么，

因为 $X(x)$ $X(x)$ 只含有 $x {\displaystyle x}$ $x$ 、 $Y(y)$ $Y(y)$ 只含有 $y {\displaystyle y}$ $y$ 、 $Z(z)$ $Z(z)$ 只含有 $z {\displaystyle z}$ $z$ ，这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说，将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程：

其中， $c_{1},\ c_{2},\ c_{3}$ $c_{1},\ c_{2},\ c_{3}$ 都是常数， $c_{1}+c_{2}+c_{3}=0$ $c_{1}+c_{2}+c_{3}=0$ 。

偏微分方程的答案为

其中， $c_{4}$ $c_{4}$ 是常数。

思考一个典型的偏微分方程，

首先，猜想答案的形式为

代入偏微分方程，

或者，用单撇号标记，

将方程的两边除以 $X(x)Y(y)$ $X(x)Y(y)$ ，则可得

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 $k {\displaystyle k}$ $k$ ：

因此，可以得到两个新的常微分方程：

这两个常微分方程都是齐次的二阶线性微分方程。假若， $k<0<\lambda +k$ $k<0<\lambda +k$ ，则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程。解答为

其中， $A_{x},\ A_{y}$ $A_{x},\ A_{y}$ 是振幅常数， $B_{x},\ B_{y}$ $B_{x},\ B_{y}$ 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

相关

低通气低通气（英文：Hypopnea）是一种浅呼吸或呼吸速率（英语：respiratory rate）特别低的情形。有些研究者认为低通气没有呼吸中止来的严重，然而也有些研究者发现低通气对健康所造成的负面影
毛蟹毛蟹可以指：
焚烧新娘索奁焚妻是指发生于印度及其周边国家，如巴基斯坦、孟加拉等地的一种家庭谋杀罪行。这类犯罪的共通点是源于嫁妆纠纷（索奁），犯罪手法则常以烧死媳妇或妻子（焚妻，Bride-burning）并伪
Rachida Dati拉希妲·达狄（Rachida Dati，1965年11月27日－），法国政治家，法兰西岛欧洲议会议员（Member of the European Parliament）。她曾担任法国司法部长、法国总统尼古拉·萨科齐发言人。父亲
埃里克·韦斯坦因埃里克·沃尔夫冈·韦斯坦因（英语：Eric Wolfgang Weisstein，1969年3月18日－），生于美国印第安纳州，为数学及科学领域百科全书编纂者，沃尔夫勒姆研究公司员工，编纂MathWorld、ScienceWo
翼型翼型或称翼剖面，是指机翼、风帆、螺旋桨、直升机旋翼、涡轮的横截面形状。翼型可以改变力的方向，例如可以把平行方向的推力转换为升力，或是将水平方向的旋转力矩转换为垂直方向
十二律十二律是中国传统音乐使用的音律，后来逐渐传入到朝鲜、日本、越南等东南亚国家。律，本来是用来定音的竹管，古人用12个不同长度的律管，吹出12个高度不同的标准音高，以定出音阶的高
黄爵滋黄爵滋（1793年－1853年），字德成，号树斋，江西宜黄人。清朝政治人物，进士出身。黄爵滋七岁能赋，嘉庆十三年（1808年），入府州府学，道光三年（1823年）中进士，历任御史、给事中、鸿胪寺卿等职，“以直
井上真树夫井上真树夫（1938年11月30日－2019年11月29日）是日本的男性演员、声优，本名：井上孝夫。所属青二Production。山梨县出身。井上在16岁时，已经开始出演电视剧、在配音的黎明时期十分
Vogue《风尚》（英语：Vogue）是Madonna在1990年3月所发行的单曲，这是一首浩室舞曲（House），在当时的乐坛上是相当前卫新颖的曲风。〈风尚〉一推出即造成轰动，它在英美两地各获得4周和3周冠军