拟阵

拟阵是组合数学中的一个结构，是对向量空间中线性独立这一概念的概括与归纳。拟阵有许多等价的定义，其中最主要的几个定义分别是基于独立集、基底、环路、闭集、平坦、闭包算子和秩函数。

拟阵理论从线性代数和图论中借用了大量术语，主要是因为它是对这些领域中很多重要的核心概念的概括。拟阵理论在几何、拓扑学、组合优化、网络理论和编码理论中都有应用。

拟阵有很多等价的定义方式。

就独立集来说, 一个有限的拟阵 ${\displaystyle M}$ 是一个二元组 ${\displaystyle (E,\mathcal{I})}$, 其中 ${\displaystyle E}$ 是一个 有限集 (称之为 基础集) ，${\displaystyle \mathcal{I}}$ 是一个由${\displaystyle E}$的子集构成的 集族 (称之为 独立集) 它需要满足下面的条件:

头两个特性定义了一个公认的组合结构，叫做独立系统。

对于有限拟阵 ${\displaystyle M}$，其基础集${\displaystyle E}$的子集${\displaystyle B}$称为一个基底（英文：basis），如果它是一个极大的独立集（即添加任何一个新的元素得到的子集都不是独立集）。拟阵的一种等价定义为二元组${\displaystyle (E,\mathcal{B})}$，其中${\displaystyle E}$ 是一个有限集，${\displaystyle \mathcal{B}}$ 是一个由基底构成的${\displaystyle E}$的子集族，称为${\displaystyle M}$的基，满足以下条件:

可以证明，一个有限拟阵的所有基底的元素个数都相同，这个数被称为拟阵的秩。

对于有限拟阵 ${\displaystyle M}$，其基础集${\displaystyle E}$的子集${\displaystyle C}$称为一个环路（英文：circuit），如果它是一个极小的非独立集（即去掉其中任一元素得到的子集都是独立集）。拟阵的一种等价定义为二元组${\displaystyle (E,\mathcal{C})}$，其中${\displaystyle E}$ 是一个有限集，${\displaystyle \mathcal{C}}$ 是一个由环路构成的${\displaystyle E}$的子集族，称为${\displaystyle M}$的环路集，满足以下条件:

可以证明，基础集的一个子集是独立集当且仅当它不包含任一环路作为子集。

类似线性代数基底的性质，拟阵的基底具有类似的性质：${\displaystyle M}$的任意两个基底具有相同的元素个数。这个数字被称为拟阵${\displaystyle M}$的秩。