其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群
环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)
在数学中，特别是叫做群论的抽象代数领域中，半直积(semidirect product)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。半直积是作为集合的笛卡尔积，但带有特定的乘法运算。
令为群，为的一个正规子群，并且是的一个子群。下列命题等价:
如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称是一个和的半直积，或者说在上“分裂(splits)”，并写作 = ⋊ 。
若是正规子群和子群的半直积，而且和都是有限的，则的阶等于和的阶的积。
注意，和直积的情况不同，半直积通常不是唯一的；如果和是两个群，都包含为正规子群，并且都包含为子群，而且二者都是和的半直积，则未必 和是同构的。
若是一个和的半直积，则映射φ : → Aut() (其中Aut()表示的所有自同构组成的群)(定义为φ()() = –1 对于所有中的和中的)是一个群同态。实际上, 和 φ 一起确定了 最多相差一个同构，如下面所证。
给定任意两个群和（不必是某个群的子群）和一个群同态φ : → Aut()，我们定义一个新群 ⋊φ ，和相对于φ的半直积，如下:基础的集合是集合直积 × ，而群运算*给定为
对于所有1, 中的2 和中的1, 2。这确实定义了一个群；其幺元为(, )而元素(, )的逆为(φ(–1)(–1), –1). × {}是同构于的正规子群, {} × 是同构于的子群，而该群是这两个子群在上面给出的意义下的半直积。
现在反过来假设我们有上述定义的内半直积，也就是说，一个群有一个正规子群,一个子群，并且使得的每个元素 可以唯一的写成的形式，其中在中而在中。令φ : →Aut()为如下同态
则同构于外半直积 ⋊φ ; 该同构把乘积映到2元组(,)。在中,我们有如下规则
而这是上述外半直积的定义的深层原因，也是一个记住它的方便办法。
群的分裂引理（splitting lemma）的一个版本称群同构于两个群和的半直积当且仅当存在短正合序列
和一个群同态 : → 使得 o = id, 上的恒等映射。在这种情况, φ : → Aut()给出如下
有 2个元素的二面体群 同构于循环群 和2的半直积。这里，2的非单位元作用于，将元素变成其逆；这是一个自同构因为是交换群。
平面的刚体运动群(映射 : R2 → R2 使得和之间的欧氏距离等于() 和()之间的距离对于所有在R2中的和成立)同构于交换群R2 (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R2上，并且是一个自同构。
所有正交×矩阵的群O()(直观的讲，所有维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO() (所有行列式值为1的正交矩阵，直观的讲维空间的转动的集合)和2的准直积。如果我们将2表示为矩阵{, }的乘法群,其中是维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交对角矩阵),则φ : 2 → Aut(SO()) 由φ()() = –1对所有 在2中的 和SO()中的给出.
假设是一个正规子群和子群的半直积。若也在中正规，或者说，若存在一个同态 → 是上的恒等映射，则是和的直积。
两个群和的直积可以视为和相对于φ() = id (对于所有中的)的外半直积。
注意在直积中，因子的次序不重要，因为 × 同构于 × 。这在半直积中不成立，因为两个因子的角色不同。
半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本，环的交叉积（crossed product of rings）。一旦构造了群的一个半直积的群环，这可以很自然的看出。还有李代数的半直和。给定拓扑空间上的一个群作用，存在一个相应的交叉积，它通常非交换，即使群是可交换的。这样的环在群作用的有重要作用，特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候，例如在阿兰·孔涅的工作中（细节请参见非交换几何）。
在范畴论中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。
