算两次

✍ dations ◷ 2025-11-25 06:53:14 #组合数学,数学推理

在数学中，算两次是一个常用的证明技巧，常在证明恒等式时被提到。其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙则得到B，那么等式A = B成立。此思想虽然明显，但在实际使用时由于方法甲与方法乙通常有明显的差异，因此能把两个表面上相去甚远的式子联系起来。算两次产生过很多漂亮的证明。

组合数学中的算两次是一种组合证明方法。我们可以对同一个组合计数问题从两个不同的方面去观察，从而得到两个表达式，其值却相同。例如以下问题：

设为给定的正整数。假如你要创造一种语言，其中的字母只有 ※ 和 ◎ 两种，而每个词语总是由个字母组成，那最多可以有多少个不同的词语？

甲：由于词语中任一位置都可以自由地选择※或◎中的任何一个，所以答案是 2 × 2 × ... × 2 = 2。

乙：如果进一步规定◎正好出现次，那么符合要求的单词就只有那么多个了。但可以是 0, 1, 2, ..., 的任何一个，因此总计起来即为 $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}$ $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}$ ，其中 ${n \choose k}$ ${n \choose k}$ 是组合数（n取k）。

两种方法都得到了正确的表达式，因此 $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$ $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$ 。

除了以上的二项式系数和，以下这些基本的组合恒等式也可以用算两次的办法来论证（但对不同的读者来说不一定是最简单的办法）：

微积分中的富比尼定理指出重积分在一定条件下可以用不同方法来计算。在这个意义下，算两次也造就了不少分析恒等式。

相关

所罗门所罗门（希伯来语：שְׁלֹמֹה‬‎），天主教汉译为撒罗满，阿拉伯语称为苏莱曼（سليمان）。根据《希伯来圣经》记载，是以色列王国第三位国王，大卫家族第二位国王，是北方以色列王
王志新王志新（1953年8月10日－），汉族，中华人民共和国政治人物、第十一届全国政协委员。加入九三学社，担任九三学社中央委员、清华大学生物系博士生导师。2008年，当选第十一届全国政协委员，
同分异构体同分异构体又称同分异构物（英语：Isomer）。同分异构物指的是拥有相同分子式，但结构式却不相同的多种分子。同分异构物之间并不拥有相同的化学性质，除非它们拥有相同的官能团（functi
欣快症欣快或欣快感（英语：Euphoria ，发音： /juːˈfɔəriə/，来源于古希腊语 εὐφορία）（词义与烦躁相反），在医学上把它当做一种精神和情感的状态。心情愉快、无忧无虑、兴高采烈、异
巴拉望岛巴拉望岛，是菲律宾西南部的狭长形岛屿，行政上属于巴拉望省。大部分区域仍未开发，生物资源丰富。西濒南海（西菲律宾海），东临苏禄海。面积约11,785平方公里，是菲律宾第五大岛（次于吕宋
沙特尔猫沙特尔猫（Chartreux）又称法国蓝猫，体重3～7．5千克，中到大型，公猫比母猫威武，强壮有力，表情甜美：头大且圆，眼大呈金色被毛短而密，单色(包括任何蓝色或烟灰色、石板色)。法国蓝猫历史悠久，它
全南县全南县（旧称“虔南”，1957年更名为“全南”）位于中国江西省南部，是赣州市下辖的一个县。清朝光绪二十九年（1903年）析龙南县之大龙、新兴堡和信丰县之镇南、扬溪、步口、回戈堡设置
耳坠草耳坠草（Sedum rubrotinctum）又名虹之玉，英文俗称Pork and Beans。景天科景天属植物，外表有翠绿色的长棍状叶子。叶片能储存水分，故可耐旱。原产地为墨西哥。虹之玉的叶子长度只有
帕皮·吉洛博吉帕皮·吉洛博吉（El Hadji Papy Mison Djilobodji，1988年12月1日－），是塞内加尔的职业足球运动员，司职后卫及后腰，最后效力第戎。
詹秀棉詹秀棉（1935年－），是一名前网球运动员，台北人。中华全国网球委员会会长蒋坚忍儿媳。早年参与自由车运动，后转战网球运动有杰出表现，入选克难队训练并前往各国巡回比赛。1958年亚洲运