算两次

✍ dations ◷ 2025-04-03 09:33:57 #组合数学,数学推理

在数学中,算两次是一个常用的证明技巧,常在证明恒等式时被提到。其思想是,对一个具体的量用方法甲来计算,得到的答案是A,而用方法乙则得到B,那么等式A = B成立。此思想虽然明显,但在实际使用时由于方法甲与方法乙通常有明显的差异,因此能把两个表面上相去甚远的式子联系起来。算两次产生过很多漂亮的证明。

组合数学中的算两次是一种组合证明方法。我们可以对同一个组合计数问题从两个不同的方面去观察,从而得到两个表达式,其值却相同。例如以下问题:

设 为给定的正整数。假如你要创造一种语言,其中的字母只有 ※ 和 ◎ 两种,而每个词语总是由 个字母组成,那最多可以有多少个不同的词语?

甲:由于词语中任一位置都可以自由地选择※或◎中的任何一个,所以答案是 2 × 2 × ... × 2 = 2。

乙:如果进一步规定◎正好出现 次,那么符合要求的单词就只有 那么多个了。但 可以是 0, 1, 2, ..., 的任何一个,因此总计起来即为 k = 0 n ( n k ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}} ,其中 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} 是组合数(n取k)。

两种方法都得到了正确的表达式,因此 k = 0 n ( n k ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}

除了以上的二项式系数和,以下这些基本的组合恒等式也可以用算两次的办法来论证(但对不同的读者来说不一定是最简单的办法):

微积分中的富比尼定理指出重积分在一定条件下可以用不同方法来计算。在这个意义下,算两次也造就了不少分析恒等式。

相关

  • 育空河育空河(英语:Yukon River)是北美洲主要的水系之一,发源于加拿大的育空地区(而育空地区即以发源于该地区的育空河来命名)。育空河长3,700公里,并由发源地向北流于育空-库斯科奎姆冲积
  • 腹腔人的腹部(拉丁文:Abdomen)是骨盆和胸部之间的身体部分。在解剖学上,腹部从胸底的横隔膜直到骨盆的真假骨盆界限。真假骨盆界限从腰骶角(第5腰椎和第一骶椎之间的椎间盘)到耻骨联合
  • 乔治·科瓦尔乔治·科瓦尔(俄语:Жорж (Георгий) Абра́мович Кова́ль,IPA:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","
  • 中大兄皇子天智天皇(日语:天智天皇/てんじてんのう Tenji Tennō;626年-672年1月7日),日本第38代天皇(668年正月初三至671年十二月初三在位)。父舒明天皇,母皇极天皇(重祚为齐明天皇)。讳葛城皇子
  • 尹 泰尹泰(满语:ᠶᡝᠨᡨᠠᡳ,穆麟德:yentai;1651年-1738年),字子登,章佳氏,清朝大臣,满洲镶黄旗人。康熙年间授翰林院笔帖式,为内阁侍读学士,康熙二十七年(1688年),授为翰林院侍讲,为日讲起居注官
  • 松江骚扰事件松江骚扰事件(日语:松江騒擾事件まつえそうじょうじけん),乃1945年(昭和20年)8月24日黎明,日本岛根县松江市的青年团体“皇国义勇军”的数十人的武装骚乱,对岛根县内的主要设施进行
  • 盛趣游戏盛趣游戏,原名“盛大游戏”,是中国大陆游戏公司,于2008年成立,原母公司为盛大网络。2009年,盛大分拆盛大游戏在纳斯达克IPO上市。2014年11月,盛大互动娱乐将所持有全部盛大游戏股
  • 4.2千年事件4.2千年事件是全新世一次非常严重的干旱事件,影响了许多文明的突变。该事件开始于4200年前,即公元前2200年。持续了整个公元前22世纪。 这一事件很可能导致了古埃及的古王国以
  • 斜杠青年斜杠青年,亦作Slash族、弹性就业青年或斜杠族,指一种始自美国纽约女专栏作家及咨询师马奇·艾波赫(英语:Marci Alboher)的畅销书《不能只打一份工︰多重压力下的职场求生术》的一种
  • 草酸锶草酸锶是锶的草酸盐,化学式为SrC2O4。草酸锶存在无水物和水合物(SrC2O4•nH2O),也能形成酸式盐(SrC2O4•mH2C2O4•nH2O)。草酸锶可以用于烟火中,这是由于它受热易分解:SrC2O4 → SrO